📝 Évaluation Variables aléatoires (Première Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Première Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Variables aléatoires

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Si V(X) = 16, quelle est l'écart-type \sigma(X) ?

Coche la bonne réponse.

A. \sigma(X) = 4
B. \sigma(X) = 8
C. \sigma(X) = 16
D. \sigma(X) = 5

Exercice 2/ 1 pt

Variable X : P(X=1) = 1/6, P(X=3) = 2/6, P(X=4) = 3/6. Calcule E(X).

Coche la bonne réponse.

A. 2,67
B. 3,17
C. 6,34
D. 3,67

Exercice 3/ 1 pt

On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir 5 ?

Coche la bonne réponse.

A. 1/3
B. 1/6
C. 1/4
D. 2/3

Exercice 4/ 1,5 pt

On répète 3 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès a pour probabilité \dfrac{1}{3}. Quelle est la probabilité du chemin « succès, échec, succès » de l'arbre ?

Coche la bonne réponse.

A. 2/27
B. 2/3
C. 2/9
D. 1/27

Exercice 5/ 1,5 pt

Loi de X : P(X=0) = 0,375 | P(X=1) = 0,25 | P(X=2) = 0,25 | P(X=3) = 0,125. Calcule P(X \geq 1).

Réponse :

Exercice 6/ 1,5 pt

La loi de X est donnée par : P(X=1) = 0,15 ; P(X=2) = 0,23 ; P(X=3) = 0,23 ; P(X=4) = 0,23 ; P(X=5) = 0,16. Calcule P(X ≤ 2).

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

X prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités 1/4, 1/2, 1/4. Calcule V(X).

Coche la bonne réponse.

A. 0,5
B. 0,75
C. 1,5
D. 1

Exercice 8/ 2 pts

Un jeu : on gagne 2 € avec probabilité 0,25 et on perd m € avec probabilité 0,75. Quelle valeur de m rend le jeu équitable (E(X) = 0) ?

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

On répète 3 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \dfrac{1}{4}. Quelle est la probabilité d'obtenir EXACTEMENT un succès ?

Coche la bonne réponse.

A. 27/64
B. 1/4
C. 3/4
D. 9/64

Exercice 10/ 2 pts

Mise = 5 €, gain reçu en cas de victoire = 8 €, probabilité de victoire = 0,4. On note G le gain net. Gain net : 3 € (victoire) ou -5 € (défaite).

a) En cas de victoire, comment se calcule le gain NET du joueur ?
- A. le gain reçu diminué de la mise
- B. le gain reçu augmenté de la mise
- C. la mise seule
b) Quelle est la probabilité de défaite ?
Réponse :
c) Calcule l'espérance de gain E(G).
Réponse :
d) Ce jeu est-il favorable, défavorable ou équitable pour le joueur ?
- A. Favorable au joueur (E(G) > 0)
- B. Défavorable au joueur (E(G) < 0)
- C. Équitable (E(G) = 0)

Exercice 11/ 2 pts

X \sim B(n, 0{,}5). Quel est le plus petit entier n tel que P(X \geq 1) \geq 0{,}9 ?

Coche la bonne réponse.

A. 5
B. 4
C. 6
D. 3

Exercice 12/ 2,5 pts

Une variable aléatoire X prend les valeurs -2, 1 et 5. On sait que P(X = 1) = 0,4. On note p = P(X = -2). On sait que l'espérance de X est E(X) = 2.

a) La somme des probabilités vaut 1. Exprime P(X = 5) en fonction de p.
- A. 0,6 − p
- B. 1 − p
- C. 0,4 − p
- D. 0,6 + p
b) Exprime l'espérance E(X) en fonction de p.
- A. 3,4 − 7p
- B. 3,4 + 7p
- C. 0,4 − 7p
- D. 3 − 7p
c) En résolvant l'équation E(X) = 2, trouve la valeur de p.
Réponse :
d) Déduis-en la valeur de P(X = 5).
Réponse :

Corrigé et barème — Variables aléatoires (Première Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) \sigma(X) = 4 — \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{16} = 4.
2. (1 pt) 3,17 — E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{2}{6} + 4 \times \dfrac{3}{6} = 3{,}17.
3. (1 pt) 1/6 — Il y a 1 issue favorable (5) sur 6 équiprobables : P = 1/6.
4. (1,5 pt) 2/27 — P(succès) = 1/3 et P(échec) = 2/3. Le chemin vaut \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = 2/27.
5. (1,5 pt) 0.625 — P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - 0{,}375 = 0{,}625.
6. (1,5 pt) 0.38 — P(X ≤ 2) = P(X=1) + P(X=2) = 0,15 + 0,23 = 0,38.
7. (2 pts) 0,5 — E(X) = 1. E(X^2) = 0 \times 1/4 + 1 \times 1/2 + 4 \times 1/4 = 1{,}5. V(X) = 1{,}5 - 1^2 = 0{,}5.
8. (2 pts) 0.67 — E(X) = 2 \times 0{,}25 - m \times 0{,}75 = 0 → m = \dfrac{2 \times 0{,}25}{0{,}75} = 0{,}67 €.
9. (2 pts) 27/64 — Chaque chemin à un succès et échecs a pour probabilité \dfrac{1}{4} \times \left(3/4\right)^{2} = 9/64, et l'arbre en compte 3. Donc P = 3 × 9/64 = 27/64.
10. (2 pts) a) le gain reçu diminué de la mise ; b) 0.6 ; c) -1.8 ; d) Défavorable au joueur (E(G) < 0) — Gain net victoire = 8 − 5 = 3 €. E(G) = 3\times0,4 + (-5)\times0,6 = -1,8. Défavorable au joueur.
11. (2 pts) 4 — P(X \geq 1) = 1 - (0{,}5)^n \geq 0{,}9 \Rightarrow (0{,}5)^n \leq 0{,}1 \Rightarrow n \geq \lceil\log(0{,}1)/\log(0{,}5)\rceil = 4.
12. (2,5 pts) a) 0,6 − p ; b) 3,4 − 7p ; c) 0.2 ; d) 0.4 — P(X=5) = 1 - 0,4 - p = 0,6 - p. E(X) = -2p + 1×0,4 + 5(0,6 - p) = -2p + 0,4 + 3 - 5p = 3,4 - 7p. On résout 3,4 - 7p = 2,0 ⟺ 7p = 1,4 ⟺ p = 0,2. Et P(X=5) = 0,6 - 0,2 = 0,4.

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Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Variables aléatoires (Première Spécialité, Spécialité Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.

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