🎲 Exercices à imprimer — Variables aléatoires (Première Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Première Spécialité🎲 Variables aléatoires
Exercice 1★☆☆☆☆
Quelle est la formule de la variance d'une variable aléatoire X ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Variable X : P(X=1) = 1/6, P(X=4) = 2/6, P(X=5) = 3/6. Calcule E(X).
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Si V(X) = 16, quelle est l'écart-type \sigma(X) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Variable aléatoire X : P(X=-1) = 0.5 ; P(X=0) = 0.1 ; P(X=7) = 0.4. Calcule E(X) (arrondi au centième).
Réponse :
Exercice 5★★☆☆☆
Un dé équitable à 10 faces numérotées 1 à 10. Quelle est P(X = 8) ?
Réponse :
Exercice 6★★☆☆☆
X \sim B(6, 0.25). Calcule \sigma(X) = \sqrt{V(X)} (arrondi au dix-millième).
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
X prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités 1/4, 1/2, 1/4. Calcule V(X).
Coche la bonne réponse.
Exercice 8★★★☆☆
On répète 3 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \dfrac{1}{3}. Quelle est la probabilité d'obtenir EXACTEMENT un succès ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 9★★★☆☆
Variable X : P(X=0) = 0.4, P(X=4) = 0.6. Calcule V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 (arrondi au centième).
Réponse :
Exercice 10★★★★☆
X \sim B(6, 0,5) et Y \sim B(7, 0,3).
- a) Pour comparer le nombre MOYEN de succès de X et de Y, quel indicateur calcule-t-on ?
- b) Calcule E(X).
Réponse :
- c) Calcule E(Y).
Réponse :
- d) Quelle variable a le plus grand nombre moyen de succès ?
Exercice 11★★★★☆
On sait que P(A) = 0,2, P_A(B) = 0,6 et P(B) = 0,2. En utilisant la formule des probabilités totales, retrouve P_{\overline{A}}(B).
Réponse :
🏆 Défi★★★★★
Une variable aléatoire X prend les valeurs -1, 2 et 6. On sait que P(X = 2) = 0,2 et que E(X) = 2,4. Quelle est la valeur de P(X = -1) ?
Réponse :
Corrigé — Variables aléatoires (Première Spécialité) · Feuille n°0
- 1. V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 — V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 (formule de König-Huygens).
- 2. 4 — E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{2}{6} + 5 \times \dfrac{3}{6} = 4.0.
- 3. \sigma(X) = 4 — \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{16} = 4.
- 4. 2.3 — E(X) = -1×0.5 + 0×0.1 + 7×0.4 = 2.3.
- 5. 0.1 — Loi uniforme : P(X = k) = \frac{1}{10} \approx 0.1 pour tout k.
- 6. 1.0607 — V(X) = np(1-p) = 6 \times 0.25 \times 0.75 = 1.125. \sigma = \sqrt{1.125} \approx 1.0607.
- 7. 0.5 — E(X) = 1.0. E(X^2) = 0 \times 1/4 + 1 \times 1/2 + 4 \times 1/4 = 1.5. V(X) = 1.5 - 1.0^2 = 0.5.
- 8. 4/9 — Chaque chemin à un succès et échecs a pour probabilité \dfrac{1}{3} \times \left(2/3\right)^{2} = 4/27, et l'arbre en compte 3. Donc P = 3 × 4/27 = 4/9.
- 9. 3.84 — E(X) = 2.4. E(X^2) = 9.6. V(X) = 9.6 - 5.76 = 3.84. \sigma = 1.96.
- 10. a) l'espérance E = np ; b) 3.0 ; c) 2.1 ; d) X — E(X) = 3.0, E(Y) = 2.1. La variable avec la plus grande espérance : X.
- 11. 0.1 — P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B) donne 0,2 = 0,2 \times 0,6 + 0,8 \times P_{\overline{A}}(B), d'où P_{\overline{A}}(B) = \dfrac{0,2 - 0,12}{0,8} = 0,1.
- 🏆 0,4 — On pose a = P(X=-1) et b = P(X=6). La somme des probabilités vaut 1 : a + b + 0,2 = 1, donc a + b = 0,8. L'espérance donne : -1a + 2\times0,2 + 6b = 2,4. En remplaçant b = 0,8 - a, on obtient une équation à une inconnue dont la solution est a = P(X=-1) = 0,4 (et b = 0,4).
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