📝 Évaluation Dérivation (Première Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Première Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Dérivation — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Calcule f'(x) pour f(x) = 2x^2 + 5x + 1.

Coche la bonne réponse.

A. 2x + 5
B. 4x + 5
C. 4x
D. 2x^2 + 5x

Exercice 2/ 1 pt

Calcule f'(x) pour f(x) = x + 12.

Réponse :

Exercice 3/ 1 pt

En un point où f'(x) = 1, la fonction f est :

Coche la bonne réponse.

A. croissante
B. constante
C. décroissante

Exercice 4/ 1,5 pt

f(x) = -x^2 -3x +3. Exprime f'(x).

Coche la bonne réponse.

A. -x -3
B. -2x -2
C. -2x -3

Exercice 5/ 1,5 pt

Calcule f'(x) pour f(x) = -3x^{5}-5.

Coche la bonne réponse.

A. 5x^{4}
B. -15x^{4}
C. -15x^{5}
D. -14x^{4}

Exercice 6/ 1,5 pt

f(x) = 2x +3. Calcule le taux de variation de f entre x = -1 et x = 3.

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

Trouve l'extremum de f(x) = -2(x - 0)^2 - 2.

Coche la bonne réponse.

A. x = 0, minimum de -2
B. x = 0, maximum de -2
C. x = 1, maximum de -2
D. Pas d'extremum

Exercice 8/ 2 pts

Calcule la dérivée de f(x) = (3x + 1)(x^2 - 1).

Coche la bonne réponse.

A. 9x^2 + 2x - 3
B. 3x^2 + 1
C. 9x^2 + 1
D. 3(x^2-1) + 21x

Exercice 9/ 2 pts

Soit f(x) = (3x -1)(-x +2). Calcule f'(1).

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

f(x) = -3x^3 + 4x^2 - 5x

a) Quelle est l'expression de f'(x) ?
- A. -6x²+8x-5
- B. -9x²+4x-5
- C. -9x² + 8x - 5
- D. -9x²+8x+5
b) Calcule f'(1).
Réponse :
c) Résous f'(x) = 0 (\Delta = -116). Solutions = ?
- A. Aucun extremum
- B. Deux extremums
- C. Un seul extremum
- D. x = 0
d) En x = 1, que peut-on déduire du signe de f'(1) pour f ?
- A. f est croissante en x = 1
- B. on ne peut pas conclure sans la valeur de f(1)
- C. f est décroissante en x = 1
- D. f a une tangente horizontale en x = 1

Exercice 11/ 2 pts

Aire : A(L) = L × (15 − L). Maximiser A.

a) Développe A(L) = L(15 − L). Choisis l'expression correcte.
- A. 15L - L²
- B. 15L + L²
- C. 15L² - L
- D. 15 - L²
b) Calcule A'(L) (la dérivée de A par rapport à L). Choisis l'expression correcte.
- A. 15 - 2L
- B. 15 - L
- C. 15L - 2
- D. -2L
c) Résous A'(L) = 0.
Réponse :
d) Calcule l'aire maximale A(7).
Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

Soit f(x) = x^2 + m\,x (m paramètre réel). Détermine m pour que la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse x_0 = -1 ait pour coefficient directeur 5.

Réponse :

Corrigé et barème — Dérivation — sujet A (Première Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) 4x + 5 — f'(x) = 2 \times 2x + 5 = 4x + 5.
2. (1 pt) 1 — (x+12)' = 1 (la constante disparaît).
3. (1 pt) croissante — f'(x) = 1 > 0 → f est croissante.
4. (1,5 pt) -2x -3 — f'(x) = 2 \times (-1) \cdot x - 3 = -2x -3.
5. (1,5 pt) -15x^{4} — (x^{5})' = 5x^{4}. Donc f'(x) = -15x^{4}.
6. (1,5 pt) 2 — Taux = \dfrac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \dfrac{9 - 1}{4} = 2.
7. (2 pts) x = 0, maximum de -2 — f'(x) = 2 \times (-2)(x - 0) = 0 \Rightarrow x = 0. f(0) = -2 est un maximum car a = -2 < 0.
8. (2 pts) 9x^2 + 2x - 3 — (uv)' = u'v + uv'. u = 3x+1, v = x^2-1. u'=3, v'=2x. f'(x) = 3(x^2-1) + (3x+1)\cdot 2x = 9x^2 + 2x - 3.
9. (2 pts) 1 — u = 3x -1, u' = 3. v = -x +2, v' = -1. f'(x) = u'v + uv' = -6x +7. Donc f'(1) = 1.
10. (2 pts) a) -9x² + 8x - 5 ; b) -6 ; c) Aucun extremum ; d) f est décroissante en x = 1 — f'(x)=-9x²+8x-5. f'(1)=-6. Extremums: Aucun extremum.
11. (2 pts) a) 15L - L² ; b) 15 - 2L ; c) 7 ; d) 56 — A(L) = 15L − L². A'(L) = 15 − 2L. L = 7, ℓ = 8. A_max = 56 cm².
12. (2,5 pts) 7 — f'(x) = 2x + m, donc f'(-1) = -2 + m. La condition f'(-1) = 5 donne m = 5 + 2 = 7.

NumiÉvaluation · Première Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Dérivation — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

f(x) = -4x. Quel est f'(x) ?

Réponse :

Exercice 2/ 1 pt

Calcule f'(x) pour f(x) = 2x^2 + 5x.

Coche la bonne réponse.

A. 4x
B. 2x + 5
C. 4x + 5
D. 2x^2 + 5x

Exercice 3/ 1 pt

f(x) = 2x +4. Quel est f'(x) ?

Réponse :

Exercice 4/ 1,5 pt

f(x) = 2x +3. Calcule le taux de variation de f entre x = 0 et x = 2.

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

Calcule f'(x) pour f(x) = -3x^{3}-2.

Coche la bonne réponse.

A. -8x^{2}
B. -9x^{2}
C. -9x^{3}
D. 3x^{2}

Exercice 6/ 1,5 pt

f'(-4) = -2. En x = -4, f est :

Coche la bonne réponse.

A. croissante
B. décroissante

Exercice 7/ 2 pts

Soit f(x) = (-x -4)(-x -4). Calcule f'(3).

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

Trouve l'extremum de f(x) = -(x - 1)^2.

Coche la bonne réponse.

A. Pas d'extremum
B. x = -1, minimum de 0
C. x = 2, maximum de 0
D. x = 1, maximum de 0

Exercice 9/ 2 pts

Soit f(x) = (-2x -4)(3x +2). Calcule f'(2).

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

f(x) = x^3 -12x. Étudier f', l'extremum sur x>0 puis les variations.

a) Calcule f'(x). Choisis l'expression correcte.
- A. 3x² -12
- B. x² -12
- C. 3x² +12
- D. 3x³ -12
b) Résous f'(x) = 0 : donne la solution positive.
Réponse :
c) Calcule f(2) (minimum local).
Réponse :
d) Sur l'intervalle ]-2\,;\,2[, comment varie f ?
- A. décroissante
- B. croissante
- C. croissante puis décroissante

Exercice 11/ 2 pts

Largeur x, longueur y. Contrainte : 2x + y = 60. Aire A(x) = x \cdot y.

a) Exprime y en fonction de x. Choisis l'expression correcte.
- A. 60 - 2x
- B. 60 - x
- C. 60 + 2x
- D. 60x - 2
b) Exprime A(x) = x·y en développant. Choisis l'expression correcte.
- A. 60x - 2x²
- B. 60x + 2x²
- C. 60x² - 2x
- D. 60 - 2x²
c) Calcule A'(x). Choisis l'expression correcte.
- A. 60 - 4x
- B. 60 - 2x
- C. 60x - 4
- D. -4x
d) Quelle valeur de x maximise l'aire ?
Réponse :
e) Quelle est l'aire maximale ?
Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

Soit f(x) = x^2 - 4x. En quelle abscisse x_0 la tangente à \mathcal{C}_f est-elle parallèle à la droite y = -10x + 1 ?

Réponse :

Corrigé et barème — Dérivation — sujet B (Première Spécialité) · Sujet n°2

1. (1 pt) -4 — (ax+b)' = a. Donc f'(x) = -4.
2. (1 pt) 4x + 5 — f'(x) = 2 \times 2x + 5 = 4x + 5.
3. (1 pt) 2 — (ax+b)' = a. Donc f'(x) = 2.
4. (1,5 pt) 2 — Taux = \dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{7 - 3}{2} = 2.
5. (1,5 pt) -9x^{2} — (x^{3})' = 3x^{2}. Donc f'(x) = -9x^{2}.
6. (1,5 pt) décroissante — f'(-4) = -2 < 0 → f décroissante en x = -4.
7. (2 pts) 14 — u = -x -4, u' = -1. v = -x -4, v' = -1. f'(x) = u'v + uv' = 2x +8. Donc f'(3) = 14.
8. (2 pts) x = 1, maximum de 0 — f'(x) = 2 \times (-1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1. f(1) = 0 est un maximum car a = -1 < 0.
9. (2 pts) -40 — u = -2x -4, u' = -2. v = 3x +2, v' = 3. f'(x) = u'v + uv' = -12x -16. Donc f'(2) = -40.
10. (2 pts) a) 3x² -12 ; b) 2 ; c) -16 ; d) décroissante — f'(x)=3x^2-12. Zéros: x=-2 et x=2. Max local=16 en x=-2. Min local=-16 en x=2.
11. (2 pts) a) 60 - 2x ; b) 60x - 2x² ; c) 60 - 4x ; d) 15 ; e) 450 — A(x)=60x-2x². A'(x)=60 - 4x=0 → x=15. A_max=450.
12. (2,5 pts) -3 — Deux droites sont parallèles ssi même pente. f'(x) = 2x - 4, donc f'(x_0) = -10 donne 2x_0 = -6, soit x_0 = -3.

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Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Dérivation (Première Spécialité, Spécialité Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.

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