📝 Évaluation Suites (approfondies) (Première Spécialité) avec corrigé
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Sujets A et B ci-dessous : exercices différents, même notion et même barème — un sujet par rangée pour limiter la copie.
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NumiÉvaluation · Première Spécialité📝 Suites (approfondies) — sujet A
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Suite géométrique : u_0 = 3, raison q = 3. Calcule u_{2}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
La suite dont les premiers termes sont (1, 4, 9, 16, \ldots) est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Quel nombre complète la suite : 7, 11, 15, 19, ?, 27 ?
Réponse :
Exercice 4/ 1,5 pt
Suite arithmétique de raison r = 4 avec u_{7} = 43. Calcule u_0.
Réponse :
Exercice 5/ 1,5 pt
Suite arithmétique de raison r = -4 avec u_{5} = -9. Calcule u_0.
Réponse :
Exercice 6/ 1,5 pt
Suite arithmétique avec u_{4} = 7 et u_{5} = 10. Quelle est la raison r ?
Réponse :
Exercice 7/ 2 pts
u_0 = 4, u_{n+1} = 2u_n + 7 (suite arithmético-géométrique).
- a) De quoi dépend le comportement de la suite quand n \to +\infty ?
- b) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).
Réponse :
- c) Quel est le comportement de la suite ?
Exercice 8/ 2 pts
Voici les 4 premiers termes d'une suite géométrique de raison 2. Quelle est la somme de ces termes ?
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
u_0 = 5, u_{n+1} = 0{,}75u_n + 4 (suite arithmético-géométrique).
- a) De quoi dépend le comportement de la suite quand n \to +\infty ?
- b) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).
Réponse :
- c) Quel est le comportement de la suite ?
Exercice 10/ 2 pts
u_0 = 7, u_{n+1} = 3 \cdot u_n. Étude : nature, terme général, seuil 113, limite.
- a) Quelle est la nature de cette suite ?
- b) Exprime u_n en fonction de n.
- c) À partir de quel rang le terme dépasse-t-il 113 ?
Réponse :
- d) Quel est le comportement asymptotique de la suite ?
Exercice 11/ 2 pts
u_n = 2 + \dfrac{1}{n+1} et v_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}. On étudie si elles sont adjacentes.
- a) Que faut-il vérifier pour que (u_n) et (v_n) soient adjacentes ?
- b) Calcule l'écart u_0 - v_0.
Réponse :
- c) Vers quelle valeur tend l'écart u_n - v_n quand n \to +\infty ?
Réponse :
- d) Quelle est la limite commune des deux suites ?
Exercice 12/ 2,5 pts
Suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = \dfrac{-1}{u_n}. Que vaut u_{999} ?
Réponse :
Corrigé et barème — Suites (approfondies) — sujet A (Première Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) 27 — u_{2} = u_0 \times q^2 = 3 \times 3^2 = 27.
- 2. (1 pt) ni arithmétique ni géométrique — Suite ni arithmétique ni géométrique. Différences 3, 5, 7 non constantes ; quotients non constants.
- 3. (1 pt) 23 — La suite est [7, 11, 15, 19, 23, 27]. L'écart entre deux termes consécutifs est constant : c'est la raison. Le terme manquant vaut 23.
- 4. (1,5 pt) 15 — u_0 = u_{7} - 7 \times r = 43 - 7 \times (4) = 15.
- 5. (1,5 pt) 11 — u_0 = u_{5} - 5 \times r = -9 - 5 \times (-4) = 11.
- 6. (1,5 pt) 3 — r = \dfrac{u_{5} - u_{4}}{5 - 4} = \dfrac{10 - 7}{1} = 3.
- 7. (2 pts) a) de la valeur du coefficient 2 devant u_n ; b) 37 ; c) diverge vers +∞ — Suite arithmético-géométrique. 2 > 1, donc elle diverge vers +\infty.
- 8. (2 pts) 15 — Somme = u_0 \dfrac{q^4 - 1}{q - 1} = 1 \times \dfrac{2^4 - 1}{2 - 1} = 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
- 9. (2 pts) a) de la valeur du coefficient 0{,}75 devant u_n ; b) 9.81 ; c) converge vers 16 — Suite arithmético-géométrique. |0{,}75| < 1, donc elle converge vers 16.
- 10. (2 pts) a) géométrique ; b) 7 \times 3^{n} ; c) 3 ; d) elle tend vers +\infty — u_n = 7×3^n. Seuil atteint à n=3 (u_2=63 ≤ 113 < u_3=189). Diverge vers +∞.
- 11. (2 pts) a) (u_n) décroissante, (v_n) croissante, et u_n - v_n \to 0 ; b) 2 ; c) 0 ; d) 2 — u_n - v_n = 2/(n+1) → 0. Les deux suites sont adjacentes et convergent vers 2.
- 12. (2,5 pts) -1/2 — En calculant les premiers termes, la suite se répète : u_0 = 2, u_1 = -\dfrac{1}{2}, u_2 = 2, … : elle est périodique de période 2. Comme u_n ne dépend que de n modulo 2, et 999 \equiv 1 \pmod{2}, on a u_{999} = u_{1} = -\dfrac{1}{2}.
NumiÉvaluation · Première Spécialité📝 Suites (approfondies) — sujet B
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.
Exercice 1/ 1 pt
Suite arithmétique : u_0 = 6, r = 3, u_n = 24. Trouve n.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Suite arithmétique : u_0 = -2, raison r = 5. Calcule u_{6}.
Réponse :
Exercice 3/ 1 pt
Suite géométrique : u_0 = 3, raison q = 3. Calcule u_{4}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Associe chaque propriété au type de suite correspondant.
Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.
- Raison r > 0 : croissante •
- Raison q > 1 et u0 > 0 : croissante •
- u_{n+1} = u_n + r •
- u_{n+1} = u_n × q •
- • Suite géométrique
- • Suite arithmétique
- • Suite géométrique
- • Suite arithmétique
Exercice 5/ 1,5 pt
Complète le tableau de la suite géométrique (u_0=2, q=3).
Complète les cases vides du tableau.
| u0 | u1 | u2 | u3 | u4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| u0=2,q=3 | 2 | 54 | 162 |
Exercice 6/ 1,5 pt
Quel nombre complète la suite : 3, 9, ?, 81, 243 ?
Réponse :
Exercice 7/ 2 pts
u_0 = 2, u_{n+1} = 2u_n + 4 (suite arithmético-géométrique).
- a) De quoi dépend le comportement de la suite quand n \to +\infty ?
- b) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).
Réponse :
- c) Quel est le comportement de la suite ?
Exercice 8/ 2 pts
Suite : u_0 = 4, u_{n+1} = u_n + 4. Propriété P(n) : u_n = 4 + 4n. On la démontre par récurrence.
- a) Que doit-on vérifier pour l'initialisation ?
- b) Hérédité : on suppose u_n = 4+4n. Quelle forme factorisée obtient-on pour u_{n+1} ?
- c) La formule étant prouvée, calcule u_{3}.
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Calcule S = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{5}.
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
Population initiale : 2000. Taux annuel : 10 %.
- a) Quelle est la nature de la suite des populations ?
- b) Quelle est la raison q ?
Réponse :
- c) Population après 1 an (entier le plus proche) ?
Réponse :
- d) Population après 4 ans, à l'entier le plus proche (choisis la bonne) ?
Exercice 11/ 2 pts
On cherche le premier rang n tel que u_n > 100.
- a) Exprime u_n en fonction de n.
- b) Calcule u_{11}.
Réponse :
- c) Calcule u_{12}.
Réponse :
- d) À partir de quel rang n a-t-on u_n > 100 ?
Exercice 12/ 2,5 pts
Suite de Fibonacci généralisée (récurrence d'ordre 2).
- a) Calcule u_2 = u_1 + u_0.
Réponse :
- b) Calcule u_3 = u_2 + u_1.
Réponse :
- c) Calcule u_4.
Réponse :
- d) Calcule u_5.
Réponse :
- e) Le rapport u_{n+1}/u_n tend-il vers une limite (nombre d'or) ?
Corrigé et barème — Suites (approfondies) — sujet B (Première Spécialité) · Sujet n°2
- 1. (1 pt) 6 — n = (u_n - u_0) / r = (24 - 6) / 3 = 6.
- 2. (1 pt) 28 — u_n = u_0 + n \times r. u_{6} = -2 + 6 \times 5 = 28.
- 3. (1 pt) 243 — u_{4} = u_0 \times q^4 = 3 \times 3^4 = 243.
- 4. (1,5 pt) Raison r > 0 : croissante → Suite arithmétique ; Raison q > 1 et u0 > 0 : croissante → Suite géométrique ; u_{n+1} = u_n + r → Suite arithmétique ; u_{n+1} = u_n × q → Suite géométrique — Arithmétique : on ajoute. Géométrique : on multiplie.
- 5. (1,5 pt) u0=2,q=3 : 6, 18 — u_n = 2 × 3^n.
- 6. (1,5 pt) 27 — La suite est [3, 9, 27, 81, 243]. Le quotient entre deux termes consécutifs est constant : c'est la raison q. Le terme manquant vaut 27.
- 7. (2 pts) a) de la valeur du coefficient 2 devant u_n ; b) 20 ; c) diverge vers +∞ — Suite arithmético-géométrique. 2 > 1, donc elle diverge vers +\infty.
- 8. (2 pts) a) que P(0) est vraie, c.-à-d. u_0 = 4 ; b) 4 + 4(n+1) ; c) 16 — Par récurrence : u_n = 4 + 4n. Donc u_3 = 4 + 4×3 = 16.
- 9. (2 pts) 364 — S = \dfrac{3^{6} - 1}{3 - 1} = \dfrac{729 - 1}{2} = 364.
- 10. (2 pts) a) géométrique ; b) 1.1 ; c) 2200 ; d) 2928 — Suite géom. q=1,1. u_n = 2000×1,1^n. u_4 ≈ 2928.
- 11. (2 pts) a) 10 + 8n ; b) 98 ; c) 106 ; d) 12 — u_n = 10 + 8n. u_11=98 ≤ 100 et u_12=106 > 100.
- 12. (2,5 pts) a) 6 ; b) 9 ; c) 15 ; d) 24 ; e) oui (≈1,618) — Récurrence: u₂=6, u₃=9, u₄=15, u₅=24. Rapports: 1,6667, 1,6 → φ≈1,618.
Une évaluation Suites (approfondies) Première Spécialité toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Suites (approfondies) (Première Spécialité, Spécialité Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
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