♾️ Exercices à imprimer — Suites (approfondies) (Première Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Première Spécialité♾️ Suites (approfondies)
Exercice 1★☆☆☆☆
Suite arithmétique : u_0 = 5, raison r = -3. Calcule u_{4}.
Réponse :
Exercice 2★☆☆☆☆
Suite arithmétique : u_0 = 8, r = 1, u_n = 11. Trouve n.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Une suite arithmétique a pour premier terme u_0 = 2 et raison r = 1. Calcule u_{6}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = 2u_n + 2. Calcule u_3.
Réponse :
Exercice 5★★☆☆☆
Suite géométrique : u_0 = 1, raison q = -2. Calcule u_{5}.
Réponse :
Exercice 6★★☆☆☆
Suite u_n = 3 + 2n et suite v_n = 17 - n. À partir de quel rang n a-t-on u_n > v_n ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
Suite : u_0 = 2, u_{n+1} = u_n + 4. Propriété P(n) : u_n = 2 + 4n. On la démontre par récurrence.
- a) Que doit-on vérifier pour l'initialisation ?
- b) Hérédité : on suppose u_n = 2+4n. Quelle forme factorisée obtient-on pour u_{n+1} ?
- c) La formule étant prouvée, calcule u_{2}.
Réponse :
Exercice 8★★★☆☆
Suite arithmétique u_k = 1 + 2k. Calcule S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{7}.
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
On place 2000 € chaque année à un taux de 5 %. La 1ère année rapporte 2000×1.05, la 2e 2000×1.05², etc. Quel est le capital total après 7 versements (arrondi à l'euro) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 10★★★★☆
On cherche le premier rang n tel que u_n > 100.
- a) Exprime u_n en fonction de n.
- b) Calcule u_{32}.
Réponse :
- c) Calcule u_{33}.
Réponse :
- d) À partir de quel rang n a-t-on u_n > 100 ?
Exercice 11★★★★☆
u_0=0, u_{n+1} = 2u_n + 3.
- a) Pour ramener cette suite à une suite géométrique, que pose-t-on ?
- b) Calcule le point fixe L.
Réponse :
- c) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).
Réponse :
- d) La suite v_n = u_n - L est géométrique. Quelle est sa raison ?
🏆 Défi★★★★★
Suite : u_0 = 1, u_{n+1} = 2u_n + 2. Détermine u_{10} (valeur exacte).
Réponse :
Corrigé — Suites (approfondies) (Première Spécialité) · Feuille n°0
- 1. -7 — u_n = u_0 + n \times r. u_{4} = 5 + 4 \times -3 = -7.
- 2. 3 — n = (u_n - u_0) / r = (11 - 8) / 1 = 3.
- 3. 8 — u_{6} = u_0 + 6r = 2 + 6 \times 1 = 8.
- 4. 30 — u_1 = 6, u_2 = 14, u_3 = 30.
- 5. -32 — u_{5} = u_0 \times q^{5} = 1 \times (-2)^{5} = -32.
- 6. 5 — u_n > v_n ⟺ 3 + 2n > 17 - n ⟺ n > \frac{17-3}{2-(-1)} = 4.67 donc n \geq 5.
- 7. a) que P(0) est vraie, c.-à-d. u_0 = 2 ; b) 2 + 4(n+1) ; c) 10 — Par récurrence : u_n = 2 + 4n. Donc u_2 = 2 + 4×2 = 10.
- 8. 64 — S = (n+1) \cdot u_0 + r \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 8 \cdot 1 + 2 \cdot 28 = 64.
- 9. 16284 — Somme géométrique : S = 2000 \times \frac{1.05^{7} - 1}{1.05 - 1} \approx 16284 €.
- 10. a) 4 + 3n ; b) 100 ; c) 103 ; d) 33 — u_n = 4 + 3n. u_32=100 ≤ 100 et u_33=103 > 100.
- 11. a) v_n = u_n - L où L est le point fixe ; b) -3 ; c) 9 ; d) 2 — u1=3, u2=9. L=-3. v_n=u_n-(-3) est géom. de raison 2.
- 🏆 3070 — Point fixe : L = 2L + 2 \Rightarrow L = -2. La suite v_n = u_n + 2 vérifie v_{n+1} = 2v_n : géométrique de raison 2 avec v_0 = 3. Donc u_n = 3 \times 2^n - 2 et u_{10} = 3 \times 1024 - 2 = 3070.
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