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♾️ Suites (approfondies)

Exercice 1★☆☆☆☆

Une suite arithmétique a pour premier terme u_0 = 2 et raison r = 2. Calcule u_{3}.

Coche la bonne réponse.

  • A. 6
  • B. 8
  • C. 4
  • D. 10

Exercice 2★☆☆☆☆

Quel nombre complète la suite : 9, 6, 3, 0, -3, ? ?

Réponse :

Exercice 3★☆☆☆☆

Suite arithmétique : u_0 = 10, r = 3, u_n = 22. Trouve n.

Coche la bonne réponse.

  • A. 4
  • B. 3
  • C. 12
  • D. 5

Exercice 4★★☆☆☆

Suite arithmétique de raison r = 5 avec u_{6} = 27. Calcule u_0.

Réponse :

Exercice 5★★☆☆☆

Suite u_n = 4 + n et suite v_n = 11 - n. À partir de quel rang n a-t-on u_n > v_n ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 3
  • B. 5
  • C. 6
  • D. 4

Exercice 6★★☆☆☆

Suite arithmétique : u_0 = 2, raison r = 2. Calcule u_{9}.

Réponse :

Exercice 7★★★☆☆

Premiers termes : 2, 6, 18, 54, ...

  1. a) Calcule le rapport u_1 \div u_0.

    Réponse :

  2. b) Calcule le rapport u_2 \div u_1.

    Réponse :

  3. c) Quelle est la nature de la suite ?
    • A. arithmétique
    • B. géométrique
    • C. ni arithmétique ni géométrique

Exercice 8★★★☆☆

Pour chaque suite géométrique u_n = u_0 \times q^n, classe-la selon sa limite.

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

u₀ = 5, q = 3u₀ = 2, q = 4u₀ = 3, q = 0.1u₀ = 3, q = 2

tend vers 0tend vers +∞

Exercice 9★★★☆☆

u_0 = 2, u_{n+1} = 0{,}75u_n + 7 (suite arithmético-géométrique).

  1. a) De quoi dépend le comportement de la suite quand n \to +\infty ?
    • A. de la parité de n
    • B. du premier terme u_0 = 2
    • C. de la valeur du coefficient 0{,}75 devant u_n
    • D. de la constante 7
  2. b) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).

    Réponse :

  3. c) Quel est le comportement de la suite ?
    • A. oscille (pas de limite)
    • B. diverge vers +∞
    • C. on ne peut pas conclure
    • D. converge vers 28

Exercice 10★★★★☆

u_0 = -2, u_{n+1} = 0{,}6u_n + 2. On étudie la convergence.

  1. a) Quelle suite auxiliaire rend l'étude de la convergence possible ?
    • A. v_n = u_{n+1} - u_n
    • B. v_n = u_n - L (avec L le point fixe)
    • C. v_n = u_n / L
    • D. v_n = u_n + L
  2. b) Calcule le point fixe L.

    Réponse :

  3. c) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).

    Réponse :

  4. d) Vers quelle valeur converge (u_n), et pourquoi ?
    • A. vers -2, elle reste à son premier terme
    • B. vers 0, car toute suite bornée tend vers 0
    • C. elle diverge, car 0{,}6 > 0
    • D. vers L, car v_n = u_n - L est géométrique de raison 0{,}6 (donc tend vers 0)

Exercice 11★★★★☆

Population initiale : 2000. Taux annuel : 8 %.

  1. a) Quelle est la nature de la suite des populations ?
    • A. arithmétique
    • B. géométrique
    • C. autre
  2. b) Quelle est la raison q ?

    Réponse :

  3. c) Population après 1 an (entier le plus proche) ?

    Réponse :

  4. d) Population après 3 ans, à l'entier le plus proche (choisis la bonne) ?
    • A. 2519
    • B. 2480
    • C. 2333
    • D. 2721

🏆 Défi★★★★★

Suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 10 - u_n. Que vaut u_{2026} ?

Réponse :

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Corrigé — Suites (approfondies) (Première Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. 8 — u_{3} = u_0 + 3r = 2 + 3 \times 2 = 8.
  2. 2. -6 — La suite est [9, 6, 3, 0, -3, -6]. L'écart entre deux termes consécutifs est constant : c'est la raison. Le terme manquant vaut -6.
  3. 3. 4 — n = (u_n - u_0) / r = (22 - 10) / 3 = 4.
  4. 4. -3 — u_0 = u_{6} - 6 \times r = 27 - 6 \times (5) = -3.
  5. 5. 4 — u_n > v_n ⟺ 4 + n > 11 - n ⟺ n > \frac{11-4}{1-(-1)} = 3.50 donc n \geq 4.
  6. 6. 20 — u_{9} = u_0 + 9 \times r = 2 + 9 \times (2) = 20.
  7. 7. a) 3 ; b) 3 ; c) géométrique — Rapports constants (3) → suite géométrique de raison 3.
  8. 8. tend vers 0 : u₀ = 3, q = 0.1 — tend vers +∞ : u₀ = 5, q = 3, u₀ = 2, q = 4, u₀ = 3, q = 2 — Si 0 < q < 1, q^n \to 0 donc u_n \to 0 (q = 0.1). Si q > 1 et u_0 > 0, u_n \to +\infty (q = 3, q = 4, q = 2).
  9. 9. a) de la valeur du coefficient 0{,}75 devant u_n ; b) 13.38 ; c) converge vers 28 — Suite arithmético-géométrique. |0.75| < 1, donc elle converge vers 28.
  10. 10. a) v_n = u_n - L (avec L le point fixe) ; b) 5.00 ; c) 2.48 ; d) vers L, car v_n = u_n - L est géométrique de raison 0{,}6 (donc tend vers 0) — Point fixe: L=5.00. v_n = u_n - L est géométrique de raison 0.6. Donc v_n = v_0×0.6^n → 0.
  11. 11. a) géométrique ; b) 1.08 ; c) 2160 ; d) 2519 — Suite géom. q=1.08. u_n = 2000×1.08^n. u_3 ≈ 2519.
  12. 🏆 1 — En calculant les premiers termes, la suite se répète : u_0 = 1, u_1 = 9, u_2 = 1, … : elle est périodique de période 2. Comme u_n ne dépend que de n modulo 2, et 2026 \equiv 0 \pmod{2}, on a u_{2026} = u_{0} = 1.
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