📝 Évaluation Suites (approfondies) (Première Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Première Spécialité

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📝 Suites (approfondies)

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Suite géométrique : u_0 = 3, raison q = 3. Calcule u_{2}.

Coche la bonne réponse.

A. 30
B. 81
C. 27
D. 9

Exercice 2/ 1 pt

La suite dont les premiers termes sont (1, 4, 9, 16, \ldots) est :

Coche la bonne réponse.

A. géométrique
B. arithmétique
C. ni arithmétique ni géométrique

Exercice 3/ 1 pt

Quel nombre complète la suite : 7, 11, 15, 19, ?, 27 ?

Réponse :

Exercice 4/ 1,5 pt

Suite arithmétique de raison r = 4 avec u_{7} = 43. Calcule u_0.

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

Suite arithmétique de raison r = -4 avec u_{5} = -9. Calcule u_0.

Réponse :

Exercice 6/ 1,5 pt

Suite arithmétique avec u_{4} = 7 et u_{5} = 10. Quelle est la raison r ?

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

u_0 = 4, u_{n+1} = 2u_n + 7 (suite arithmético-géométrique).

a) De quoi dépend le comportement de la suite quand n \to +\infty ?
- A. de la parité de n
- B. de la valeur du coefficient 2 devant u_n
- C. de la constante 7
- D. du premier terme u_0 = 4
b) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).
Réponse :
c) Quel est le comportement de la suite ?
- A. oscille (pas de limite)
- B. converge vers -7
- C. on ne peut pas conclure
- D. diverge vers +∞

Exercice 8/ 2 pts

Voici les 4 premiers termes d'une suite géométrique de raison 2. Quelle est la somme de ces termes ?

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

u_0 = 5, u_{n+1} = 0{,}75u_n + 4 (suite arithmético-géométrique).

a) De quoi dépend le comportement de la suite quand n \to +\infty ?
- A. de la constante 4
- B. de la valeur du coefficient 0{,}75 devant u_n
- C. du premier terme u_0 = 5
- D. de la parité de n
b) Calcule u_2 (calcule d'abord u_1).
Réponse :
c) Quel est le comportement de la suite ?
- A. on ne peut pas conclure
- B. diverge vers +∞
- C. converge vers 16
- D. oscille (pas de limite)

Exercice 10/ 2 pts

u_0 = 7, u_{n+1} = 3 \cdot u_n. Étude : nature, terme général, seuil 113, limite.

a) Quelle est la nature de cette suite ?
- A. géométrique
- B. arithmétique
- C. arithmético-géométrique
- D. ni l'une ni l'autre
b) Exprime u_n en fonction de n.
- A. (7 \times 3)^{n}
- B. 7 \times 3n
- C. 7 + 3n
- D. 7 \times 3^{n}
c) À partir de quel rang le terme dépasse-t-il 113 ?
Réponse :
d) Quel est le comportement asymptotique de la suite ?
- A. elle tend vers une limite finie
- B. elle tend vers +\infty
- C. elle oscille sans limite
- D. elle tend vers 0

Exercice 11/ 2 pts

u_n = 2 + \dfrac{1}{n+1} et v_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}. On étudie si elles sont adjacentes.

a) Que faut-il vérifier pour que (u_n) et (v_n) soient adjacentes ?
- A. (u_n) décroissante, (v_n) croissante, et u_n - v_n \to 0
- B. (u_n) et (v_n) toutes deux croissantes
- C. (u_n) et (v_n) ont la même raison
- D. u_n = v_n à partir d'un certain rang
b) Calcule l'écart u_0 - v_0.
Réponse :
c) Vers quelle valeur tend l'écart u_n - v_n quand n \to +\infty ?
Réponse :
d) Quelle est la limite commune des deux suites ?
- A. +\infty
- B. 1
- C. 2
- D. 0

Exercice 12/ 2,5 pts

Suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = \dfrac{-1}{u_n}. Que vaut u_{999} ?

Réponse :

Corrigé et barème — Suites (approfondies) (Première Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) 27 — u_{2} = u_0 \times q^2 = 3 \times 3^2 = 27.
2. (1 pt) ni arithmétique ni géométrique — Suite ni arithmétique ni géométrique. Différences 3, 5, 7 non constantes ; quotients non constants.
3. (1 pt) 23 — La suite est [7, 11, 15, 19, 23, 27]. L'écart entre deux termes consécutifs est constant : c'est la raison. Le terme manquant vaut 23.
4. (1,5 pt) 15 — u_0 = u_{7} - 7 \times r = 43 - 7 \times (4) = 15.
5. (1,5 pt) 11 — u_0 = u_{5} - 5 \times r = -9 - 5 \times (-4) = 11.
6. (1,5 pt) 3 — r = \dfrac{u_{5} - u_{4}}{5 - 4} = \dfrac{10 - 7}{1} = 3.
7. (2 pts) a) de la valeur du coefficient 2 devant u_n ; b) 37 ; c) diverge vers +∞ — Suite arithmético-géométrique. 2 > 1, donc elle diverge vers +\infty.
8. (2 pts) 15 — Somme = u_0 \dfrac{q^4 - 1}{q - 1} = 1 \times \dfrac{2^4 - 1}{2 - 1} = 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
9. (2 pts) a) de la valeur du coefficient 0{,}75 devant u_n ; b) 9.81 ; c) converge vers 16 — Suite arithmético-géométrique. |0{,}75| < 1, donc elle converge vers 16.
10. (2 pts) a) géométrique ; b) 7 \times 3^{n} ; c) 3 ; d) elle tend vers +\infty — u_n = 7×3^n. Seuil atteint à n=3 (u_2=63 ≤ 113 < u_3=189). Diverge vers +∞.
11. (2 pts) a) (u_n) décroissante, (v_n) croissante, et u_n - v_n \to 0 ; b) 2 ; c) 0 ; d) 2 — u_n - v_n = 2/(n+1) → 0. Les deux suites sont adjacentes et convergent vers 2.
12. (2,5 pts) -1/2 — En calculant les premiers termes, la suite se répète : u_0 = 2, u_1 = -\dfrac{1}{2}, u_2 = 2, … : elle est périodique de période 2. Comme u_n ne dépend que de n modulo 2, et 999 \equiv 1 \pmod{2}, on a u_{999} = u_{1} = -\dfrac{1}{2}.

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