📝 Évaluation Fonctions exponentielles (Première — Ens. scientifique) avec corrigé

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Numi, la mascotteÉvaluation · Première — Ens. scientifique
Nom : Classe : Date :

📝 Fonctions exponentielles — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

La fonction f(x) = 0{,}9^x est-elle croissante, décroissante ou constante ?

Coche la bonne réponse.

  • A. constante
  • B. décroissante
  • C. croissante

Exercice 2/ 1 pt

La fonction f(x) = 5^x est-elle croissante, décroissante ou constante ?

Coche la bonne réponse.

  • A. croissante
  • B. décroissante
  • C. constante

Exercice 3/ 1 pt

Résous: 3^x = 3^{3}.

Coche la bonne réponse.

  • A. 3
  • B. -3
  • C. 4
  • D. 1

Exercice 4/ 1,5 pt

On modélise une substance radioactive (en g) par N(t) = 2000 \times 0{,}9^t. Quelle est la valeur après t = 3 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 1620
  • B. 1312,2
  • C. 1458
  • D. 1400

Exercice 5/ 1,5 pt

Une population de 100 individus se triple chaque année. Quelle est la population après 5 ans ?

Réponse :

Exercice 6/ 1,5 pt

Complète: 10^{-2} \; \_ \; 10^{4}

Coche la bonne réponse.

  • A. <
  • B. =
  • C. >

Exercice 7/ 2 pts

Une quantité double en 1 an. Quel est le taux d'augmentation annuel (arrondi à 0,01\%) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 95 %
  • B. 105 %
  • C. 100 %

Exercice 8/ 2 pts

A(t) = 500 \times 1{,}05^t. Valeur initiale A(0) = 500. On cherche le premier rang entier t tel que A(t) \geq 1000.

  1. a) Sans logarithme, comment trouver le premier rang t où A(t) \geq 1000 ?
    • A. En divisant le seuil par la valeur initiale
    • B. En soustrayant la valeur initiale au seuil
    • C. En multipliant le taux annuel par 2
    • D. En calculant les termes successifs A(1), A(2), \dots jusqu'à franchir le seuil
  2. b) Calcule A(14) (arrondie au centième).

    Réponse :

  3. c) Calcule A(15) (arrondie au centième).

    Réponse :

  4. d) Déduis-en le premier rang entier t pour lequel A(t) \geq 1000.

    Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Une population de 500 individus augmente de 10\% par an. Quelle est la population après 3 ans (arrondie à l'entier) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 716
  • B. 616
  • C. 666
  • D. 650

Exercice 10/ 2 pts

Population initiale : 5000. Après 1 an : 15000. Le facteur multiplicatif annuel reste constant. Modèle : P(t) = P_0 \times k^t.

  1. a) Comment retrouve-t-on le facteur multiplicatif annuel k ?
    • A. En divisant la population d'une année par celle de l'année précédente
    • B. En additionnant les deux populations consécutives
    • C. En soustrayant les deux populations consécutives
    • D. En divisant la population par le nombre d'années
  2. b) Calcule le facteur multiplicatif annuel k.

    Réponse :

  3. c) Calcule la population après 2 ans.

    Réponse :

  4. d) De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté en 2 ans ?
    • A. 800 %
    • B. 900 %
    • C. on ne peut pas savoir sans la population finale exacte
    • D. 400 %

Exercice 11/ 2 pts

Grandeur initiale : 1000. Taux de croissance : 3%/an. Coefficient multiplicateur annuel : 1,03.

  1. a) Une grandeur croît à taux constant. Comment estimer rapidement son temps de doublement (en années) ?
    • A. En divisant 100 par le taux annuel exprimé en %
    • B. En divisant 70 par le taux annuel exprimé en %
    • C. En divisant le taux annuel (%) par 70
    • D. En multipliant 70 par le taux annuel exprimé en %
  2. b) Applique la règle des 70 : estime le temps de doublement de cette grandeur.

    Réponse : ans

  3. c) Calcule la valeur de la grandeur après 20 ans (arrondie au centième).

    Réponse :

  4. d) En 20 ans, environ combien de fois la grandeur a-t-elle doublé ?
    • A. Environ 0,9 fois
    • B. Exactement 20 fois, une par an
    • C. Environ 3 fois
    • D. On ne peut pas le savoir sans la valeur finale exacte

Exercice 12/ 2,5 pts

f(t) = 3^t (exponentielle) et g(t) = 10t (linéaire). Au départ, g est devant f.

  1. a) Bien que g soit devant au départ, que se passe-t-il quand t devient très grand ?
    • A. f finit toujours par dépasser puis distancer g
    • B. g reste toujours au-dessus de f
    • C. elles deviennent égales à partir d'un certain rang
    • D. on ne peut rien dire sans tracer les deux courbes
  2. b) Calcule f(4) (arrondi au centième si besoin).

    Réponse :

  3. c) Calcule g(4).

    Réponse :

  4. d) Sans calculer, laquelle domine très largement à t = 100 ?
    • A. g(100), la fonction linéaire
    • B. impossible à comparer sans calculatrice
    • C. f(100), l'exponentielle, très loin devant
    • D. elles sont quasiment égales
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Corrigé et barème — Fonctions exponentielles — sujet A (Première — Ens. scientifique) · Sujet n°1

  1. 1. (1 pt) décroissante — 0 < a = 0{,}9 < 1 → x \mapsto 0{,}9^x est strictement décroissante.
  2. 2. (1 pt) croissante — a = 5 > 1 → x \mapsto 5^x est strictement croissante.
  3. 3. (1 pt) 3 — Même base strictement positive et différente de 1, donc égalité des exposants: x=3.
  4. 4. (1,5 pt) 1458 — N(3) = 2000 \times 0{,}9^{3} \approx 1458.
  5. 5. (1,5 pt) 24300 — Suite géométrique de raison 3 : u_{5} = 100 \times 3^5 = 24300.
  6. 6. (1,5 pt) < — x \mapsto 10^x est croissante (a=10>1), donc 10^{-2} < 10^{4}.
  7. 7. (2 pts) 100 % — q^{1} = 2 \Rightarrow q = 2^{1/1} \approx 2. Taux \approx 100\%.
  8. 8. (2 pts) a) En calculant les termes successifs A(1), A(2), \dots jusqu'à franchir le seuil ; b) 989.97 ; c) 1039.46 ; d) 15 — Temps de doublement \approx 15 (car A(15) = 1039,46 \geq 1000).
  9. 9. (2 pts) 666 — P(3) = 500 \times 1{,}1^{3} \approx 666.
  10. 10. (2 pts) a) En divisant la population d'une année par celle de l'année précédente ; b) 3 ; c) 45000 ; d) 800 % — Facteur annuel k = 15000/5000 = 3. Modèle P(t) = 5000 \times 3^t : après 2 ans, P(2) = 45000. Hausse sur 2 ans : (3^{2} - 1) \times 100 = 800\%.
  11. 11. (2 pts) a) En divisant 70 par le taux annuel exprimé en % ; b) 23.3 ans ; c) 1806.11 ; d) Environ 0,9 fois — Règle des 70 : temps de doublement \approx 70/3 \approx 23,3 ans. Après 20 ans : \approx 1806,11, soit environ 0,9 doublements. La croissance exponentielle est très puissante sur le long terme.
  12. 12. (2,5 pts) a) f finit toujours par dépasser puis distancer g ; b) 81 ; c) 40 ; d) f(100), l'exponentielle, très loin devant — f(4) = 81, g(4) = 40. Même si la droite g mène au début, l'exponentielle f finit toujours par la dépasser et la distancer : à t = 100, f est astronomiquement plus grande.
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.
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📝 Fonctions exponentielles — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Simplifie \,2^{2} \times 2^{1}.

Coche la bonne réponse.

  • A. 2^{2}
  • B. 2^{1}
  • C. 2^{3}
  • D. 4^{3}

Exercice 2/ 1 pt

Calcule f(3) pour f(x) = 2^x.

Réponse :

Exercice 3/ 1 pt

Résous: 5^x = 5^{4}.

Coche la bonne réponse.

  • A. -4
  • B. 5
  • C. 4
  • D. 2

Exercice 4/ 1,5 pt

On modélise une substance radioactive (en g) par N(t) = 2000 \times 0{,}9^t. Quelle est la valeur après t = 3 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 1400
  • B. 1312,2
  • C. 1620
  • D. 1458

Exercice 5/ 1,5 pt

Laquelle est la plus grande : 3^{3} ou 3^{4} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 3^{3}
  • B. égaux
  • C. 3^{4}
  • D. 3^{2}

Exercice 6/ 1,5 pt

Simplifie : \dfrac{3^{4}}{3^{4}}.

Coche la bonne réponse.

  • A. 3^{0}
  • B. 3^{8}
  • C. 3^{1}
  • D. 3^{16}

Exercice 7/ 2 pts

Un placement croît de 20\% par an. Après 2 ans il vaut 720 €. Quelle était la valeur initiale (arrondie) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 720
  • B. 500
  • C. 400
  • D. 600

Exercice 8/ 2 pts

On travaille avec la base a = 3 et les exposants m = 3, n = 2.

  1. a) Quelle écriture simplifie a^m \times a^n ?
    • A. (a \times a)^{m+n} : on double la base
    • B. a^{m+n} : on additionne les exposants
    • C. a^{m \times n} : on multiplie les exposants
    • D. a^{m-n} : on soustrait les exposants
  2. b) Écris a^m \times a^n sous la forme a^k : donne l'exposant k.

    Réponse :

  3. c) Calcule la valeur entière de a^m \times a^n.

    Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Substance radioactive. Quantité initiale : 1000 g. Demi-vie : 2 ans. On observe la substance pendant 8 ans.

  1. a) Que devient la quantité de substance à chaque demi-vie écoulée ?
    • A. Elle divise la quantité par la durée de la demi-vie
    • B. Elle divise la quantité par 2
    • C. Elle retranche 2 g à la quantité
    • D. Elle multiplie la quantité par 2
  2. b) Combien de demi-vies se sont écoulées en 8 ans ?

    Réponse :

  3. c) Calcule la quantité restante (en g, arrondie au centième).

    Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

Une substance radioactive perd 10% de masse par jour. Valeur initiale N_0 = 100. Modèle : N(t) = N_0 \times k^t.

  1. a) Dans ce modèle, comment passe-t-on d'une unité de temps à la suivante ?
    • A. On élève le temps à la puissance k
    • B. On ajoute un coefficient constant k
    • C. On multiplie par un coefficient constant k
    • D. On multiplie par le temps écoulé
  2. b) Quel est le coefficient multiplicatif k par unité de temps ?

    Réponse :

  3. c) Calcule la valeur N(5) après 5 unités de temps.

    Réponse :

  4. d) Par rapport à la valeur initiale, que dire de la quantité obtenue ?
    • A. elle a diminué d'environ 41 %
    • B. elle est restée identique
    • C. impossible à dire sans la durée exacte
    • D. elle a augmenté d'environ 41 %

Exercice 11/ 2 pts

Population initiale : 1000. Après 1 an : 3000. Le facteur multiplicatif annuel reste constant. Modèle : P(t) = P_0 \times k^t.

  1. a) Comment retrouve-t-on le facteur multiplicatif annuel k ?
    • A. En soustrayant les deux populations consécutives
    • B. En additionnant les deux populations consécutives
    • C. En divisant la population par le nombre d'années
    • D. En divisant la population d'une année par celle de l'année précédente
  2. b) Calcule le facteur multiplicatif annuel k.

    Réponse :

  3. c) Calcule la population après 2 ans.

    Réponse :

  4. d) De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté en 2 ans ?
    • A. 400 %
    • B. 900 %
    • C. 800 %
    • D. on ne peut pas savoir sans la population finale exacte

Exercice 12/ 2,5 pts

f(t) = 2^t (exponentielle) et g(t) = 10t (linéaire). Au départ, g est devant f.

  1. a) Bien que g soit devant au départ, que se passe-t-il quand t devient très grand ?
    • A. g reste toujours au-dessus de f
    • B. f finit toujours par dépasser puis distancer g
    • C. elles deviennent égales à partir d'un certain rang
    • D. on ne peut rien dire sans tracer les deux courbes
  2. b) Calcule f(4) (arrondi au centième si besoin).

    Réponse :

  3. c) Calcule g(4).

    Réponse :

  4. d) Sans calculer, laquelle domine très largement à t = 100 ?
    • A. impossible à comparer sans calculatrice
    • B. f(100), l'exponentielle, très loin devant
    • C. g(100), la fonction linéaire
    • D. elles sont quasiment égales
Évaluation générée par numimaths.fr — conforme au programme officiel. Le corrigé et le barème sont page suivante.

Corrigé et barème — Fonctions exponentielles — sujet B (Première — Ens. scientifique) · Sujet n°2

  1. 1. (1 pt) 2^{3} — a^m \times a^n = a^{m+n}, donc 2^{2} \times 2^{1} = 2^{3}.
  2. 2. (1 pt) 8 — f(3) = 2^{3} = 8.
  3. 3. (1 pt) 4 — Même base strictement positive et différente de 1, donc égalité des exposants: x=4.
  4. 4. (1,5 pt) 1458 — N(3) = 2000 \times 0{,}9^{3} \approx 1458.
  5. 5. (1,5 pt) 3^{4} — a = 3 > 1 → croissante → 3^{4} = 81 > 3^{3} = 27.
  6. 6. (1,5 pt) 3^{0} — \dfrac{3^{4}}{3^{4}} = 3^{4-4} = 3^{0}.
  7. 7. (2 pts) 500 — P_0 = 720 \div 1{,}2^{2} \approx 500 €.
  8. 8. (2 pts) a) a^{m+n} : on additionne les exposants ; b) 5 ; c) 243 — a^m \times a^n = a^{3+2} = 3^{5} = 243.
  9. 9. (2 pts) a) Elle divise la quantité par 2 ; b) 4 ; c) 62.5 — 4 demi-vies → reste = 1000 \times (1/2)^{4} = 62,5 g.
  10. 10. (2 pts) a) On multiplie par un coefficient constant k ; b) 0.9 ; c) 59 ; d) elle a diminué d'environ 41 % — N(5) = 100 \times 0{,}9^{5} = 59 g.
  11. 11. (2 pts) a) En divisant la population d'une année par celle de l'année précédente ; b) 3 ; c) 9000 ; d) 800 % — Facteur annuel k = 3000/1000 = 3. Modèle P(t) = 1000 \times 3^t : après 2 ans, P(2) = 9000. Hausse sur 2 ans : (3^{2} - 1) \times 100 = 800\%.
  12. 12. (2,5 pts) a) f finit toujours par dépasser puis distancer g ; b) 16 ; c) 40 ; d) f(100), l'exponentielle, très loin devant — f(4) = 16, g(4) = 40. Même si la droite g mène au début, l'exponentielle f finit toujours par la dépasser et la distancer : à t = 100, f est astronomiquement plus grande.
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Une évaluation Fonctions exponentielles Première — Ens. scientifique toujours nouvelle

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