📝 Évaluation Fonctions exponentielles (Première — Ens. scientifique) avec corrigé
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NumiÉvaluation · Première — Ens. scientifique📝 Fonctions exponentielles
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
La fonction f(x) = 0{,}9^x est-elle croissante, décroissante ou constante ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
La fonction f(x) = 5^x est-elle croissante, décroissante ou constante ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Résous: 3^x = 3^{3}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
On modélise une substance radioactive (en g) par N(t) = 2000 \times 0{,}9^t. Quelle est la valeur après t = 3 ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Une population de 100 individus se triple chaque année. Quelle est la population après 5 ans ?
Réponse :
Exercice 6/ 1,5 pt
Complète: 10^{-2} \; \_ \; 10^{4}
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Une quantité double en 1 an. Quel est le taux d'augmentation annuel (arrondi à 0,01\%) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 8/ 2 pts
A(t) = 500 \times 1{,}05^t. Valeur initiale A(0) = 500. On cherche le premier rang entier t tel que A(t) \geq 1000.
- a) Sans logarithme, comment trouver le premier rang t où A(t) \geq 1000 ?
- b) Calcule A(14) (arrondie au centième).
Réponse :
- c) Calcule A(15) (arrondie au centième).
Réponse :
- d) Déduis-en le premier rang entier t pour lequel A(t) \geq 1000.
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Une population de 500 individus augmente de 10\% par an. Quelle est la population après 3 ans (arrondie à l'entier) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 10/ 2 pts
Population initiale : 5000. Après 1 an : 15000. Le facteur multiplicatif annuel reste constant. Modèle : P(t) = P_0 \times k^t.
- a) Comment retrouve-t-on le facteur multiplicatif annuel k ?
- b) Calcule le facteur multiplicatif annuel k.
Réponse :
- c) Calcule la population après 2 ans.
Réponse :
- d) De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté en 2 ans ?
Exercice 11/ 2 pts
Grandeur initiale : 1000. Taux de croissance : 3%/an. Coefficient multiplicateur annuel : 1,03.
- a) Une grandeur croît à taux constant. Comment estimer rapidement son temps de doublement (en années) ?
- b) Applique la règle des 70 : estime le temps de doublement de cette grandeur.
Réponse : ans
- c) Calcule la valeur de la grandeur après 20 ans (arrondie au centième).
Réponse :
- d) En 20 ans, environ combien de fois la grandeur a-t-elle doublé ?
Exercice 12/ 2,5 pts
f(t) = 3^t (exponentielle) et g(t) = 10t (linéaire). Au départ, g est devant f.
- a) Bien que g soit devant au départ, que se passe-t-il quand t devient très grand ?
- b) Calcule f(4) (arrondi au centième si besoin).
Réponse :
- c) Calcule g(4).
Réponse :
- d) Sans calculer, laquelle domine très largement à t = 100 ?
Corrigé et barème — Fonctions exponentielles (Première — Ens. scientifique) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) décroissante — 0 < a = 0{,}9 < 1 → x \mapsto 0{,}9^x est strictement décroissante.
- 2. (1 pt) croissante — a = 5 > 1 → x \mapsto 5^x est strictement croissante.
- 3. (1 pt) 3 — Même base strictement positive et différente de 1, donc égalité des exposants: x=3.
- 4. (1,5 pt) 1458 — N(3) = 2000 \times 0{,}9^{3} \approx 1458.
- 5. (1,5 pt) 24300 — Suite géométrique de raison 3 : u_{5} = 100 \times 3^5 = 24300.
- 6. (1,5 pt) < — x \mapsto 10^x est croissante (a=10>1), donc 10^{-2} < 10^{4}.
- 7. (2 pts) 100 % — q^{1} = 2 \Rightarrow q = 2^{1/1} \approx 2. Taux \approx 100\%.
- 8. (2 pts) a) En calculant les termes successifs A(1), A(2), \dots jusqu'à franchir le seuil ; b) 989.97 ; c) 1039.46 ; d) 15 — Temps de doublement \approx 15 (car A(15) = 1039,46 \geq 1000).
- 9. (2 pts) 666 — P(3) = 500 \times 1{,}1^{3} \approx 666.
- 10. (2 pts) a) En divisant la population d'une année par celle de l'année précédente ; b) 3 ; c) 45000 ; d) 800 % — Facteur annuel k = 15000/5000 = 3. Modèle P(t) = 5000 \times 3^t : après 2 ans, P(2) = 45000. Hausse sur 2 ans : (3^{2} - 1) \times 100 = 800\%.
- 11. (2 pts) a) En divisant 70 par le taux annuel exprimé en % ; b) 23.3 ans ; c) 1806.11 ; d) Environ 0,9 fois — Règle des 70 : temps de doublement \approx 70/3 \approx 23,3 ans. Après 20 ans : \approx 1806,11, soit environ 0,9 doublements. La croissance exponentielle est très puissante sur le long terme.
- 12. (2,5 pts) a) f finit toujours par dépasser puis distancer g ; b) 81 ; c) 40 ; d) f(100), l'exponentielle, très loin devant — f(4) = 81, g(4) = 40. Même si la droite g mène au début, l'exponentielle f finit toujours par la dépasser et la distancer : à t = 100, f est astronomiquement plus grande.
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