📝 Évaluation Polynômes du second degré (Première — Ens. scientifique) avec corrigé
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NumiÉvaluation · Première — Ens. scientifique📝 Polynômes du second degré
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Résous 4x^2 = 36.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
La parabole y = -x^2 + \ldots a un :
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
La parabole y = 2x^2 + \ldots a un :
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Quelle est l'allure de la parabole représentant f(x) = x^{2} - 4x - 5 ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Quelle est l'allure de la parabole représentant f(x) = 2x^{2} + 2x ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
Le carré ci-dessous illustre (7 + 4)^2. Quelle est son aire totale ?
Réponse :
Exercice 7/ 2 pts
Soit f(x) = 2(x - 2)(x - 6). Quelle est l'abscisse du sommet de la parabole ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 8/ 2 pts
Résoudre x^2 - 2x \leq 0 (coefficient a = 1).
- a) Quelles sont les racines du trinôme ?
- b) Comme a = 1 > 0, le trinôme est négatif :
- c) Donne l'ensemble solution de l'inéquation ≤ 0.
Exercice 9/ 2 pts
Résoudre x^2 - 2x - 3 \leq 0 (coefficient a = 1).
- a) Quelles sont les racines du trinôme ?
- b) Comme a = 1 > 0, le trinôme est négatif :
- c) Donne l'ensemble solution de l'inéquation ≤ 0.
Exercice 10/ 2 pts
Étudier le signe de (x - 8)(-x + 6).
- a) x - 8=0 → racine x = ?
Réponse :
- b) -x + 6=0 → racine x = ?
Réponse :
- c) Pour x entre 6 et 8: signe du produit = ?
- d) Pour x > max des racines: signe du produit = ?
Exercice 11/ 2 pts
On dispose de 16 m de clôture pour entourer un rectangle (les deux largeurs comptent double). L'aire vaut A(x) = x(16 - 2x) = -2x^2 + 16x, où x est la largeur.
- a) L'aire A(x) est une parabole. Comment trouve-t-on la largeur x qui rend l'aire maximale ?
- b) Calcule la largeur x qui maximise l'aire (abscisse du sommet).
Réponse :
- c) Calcule l'aire maximale correspondante.
Réponse :
- d) Le coefficient de x^2 vaut -2. Que peut-on conclure pour l'aire ?
Exercice 12/ 2,5 pts
Un artisan fabrique un objet qui lui coûte 12 € pièce. S'il le vend au prix p (en euros), il en écoule q(p) = 36 - p par jour. Quel bénéfice quotidien MAXIMAL (en euros) peut-il réaliser ?
Réponse :
Corrigé et barème — Polynômes du second degré (Première — Ens. scientifique) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) x = 3 ou x = -3 — x^2 = \frac{36}{4} = 9 \Rightarrow x = \pm 3.
- 2. (1 pt) maximum — a = -1 < 0 → parabole tournée vers le bas → sommet = maximum.
- 3. (1 pt) minimum — a = 2 > 0 → parabole tournée vers le haut → sommet = minimum.
- 4. (1,5 pt) Tournée vers le haut : son sommet est un minimum. — Le coefficient de x^2 vaut 1, qui est positif : la parabole est tournée vers le haut et son sommet est un minimum.
- 5. (1,5 pt) Tournée vers le haut : son sommet est un minimum. — Le coefficient de x^2 vaut 2, qui est positif : la parabole est tournée vers le haut et son sommet est un minimum.
- 6. (1,5 pt) 121 — (7+4)^2 = 7^2 + 2\times7\times4 + 4^2 = 49 + 56 + 16 = 121.
- 7. (2 pts) 4 — Les racines sont 2 et 6. Par symétrie de la parabole, le sommet a pour abscisse leur milieu : \dfrac{2 + 6}{2} = 4.
- 8. (2 pts) a) 0 et 2 ; b) entre les racines ; c) [0 ; 2] — Racines : x₁ = 0, x₂ = 2. a = 1 > 0 → f ≤ 0 entre les racines : [0 ; 2].
- 9. (2 pts) a) -1 et 3 ; b) entre les racines ; c) [-1 ; 3] — Racines : x₁ = -1, x₂ = 3. a = 1 > 0 → f ≤ 0 entre les racines : [-1 ; 3].
- 10. (2 pts) a) 8 ; b) 6 ; c) positif ; d) négatif — Racines: 8 et 6. Tableau de signes selon le signe de a×c=-1.
- 11. (2 pts) a) On calcule l'abscisse du sommet x = -b/(2a) ; b) 4 ; c) 32 ; d) L'aire admet un maximum — a = -2 < 0 → maximum. Sommet en x = 4, aire max = 32 m².
- 12. (2,5 pts) 144 — Le bénéfice est B(p) = (p - 12) \times q(p) = (p - 12)(36 - p). En posant e = p - 12 (la marge), q = 24 - e donc B = e(24 - e) = -e^2 + 24e : parabole tournée vers le bas, maximale au sommet e = \dfrac{24}{2} = 12 (soit p = 24 €). Bénéfice maximal = 12 \times (24 - 12) = 144 €.
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