Probabilités — Terminale Spécialité

Succession d'épreuves indépendantes : la probabilité d'une issue $(x_1,\ldots,x_n)$ est le produit des probabilités des composantes. On la représente par un arbre ou un produit cartésien.

Schéma de Bernoulli : répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre $p$ (probabilité de succès).

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $X$ compte le nombre de succès.

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad \text{pour } 0 \leq k \leq n$

Le coefficient $\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de l'arbre menant à $k$ succès ; $p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'un de ces chemins.

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Linéarité de l'espérance (vraie sans aucune hypothèse) :

$E(X+Y) = E(X)+E(Y) \qquad E(aX) = aE(X)$

Additivité de la variance, uniquement si $X$ et $Y$ sont indépendantes :

$V(X+Y) = V(X)+V(Y) \qquad V(aX) = a^2V(X)$

Échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$, de variance $V$ et d'écart type $\sigma$ : une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables indépendantes de même loi. On note $S_n = X_1+\cdots+X_n$ et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ :

C'est ce $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ qui impose de quadrupler la taille d'un échantillon pour diviser sa dispersion par 2.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — pour toute variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$, et tout réel $\delta > 0$ :

$P(|X-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{\delta^2}$

Inégalité de concentration — appliquée à la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$ :

$P(|M_n-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n\delta^2}$

Loi des grands nombres : le majorant $\dfrac{V}{n\delta^2}$ tend vers $0$, donc la probabilité que $M_n$ s'écarte de $\mu$ de plus de $\delta$ tend vers $0$ quand $n \to +\infty$.

✏️ Exemple — Loi binomiale

✏️ Exemple — Taille d'échantillon par l'inégalité de concentration

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ exige l'indépendance ; $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ non. L'espérance est linéaire dans tous les cas — c'est ce qui la rend si puissante (on obtient $E$ sans jamais déterminer la loi de la somme). La variance, elle, ne s'additionne que dans le cadre d'une succession d'épreuves indépendantes.

La loi des grands nombres ne dit PAS qu'après une série de défaites une victoire est « due ». Les tirages restent indépendants : c'est l'erreur du joueur. Ce qui se stabilise, c'est la moyenne $M_n$, pas une compensation des écarts passés.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est spectaculairement générale : elle vaut pour n'importe quelle loi, sans rien savoir de sa forme. Le prix de cette généralité, c'est qu'elle est grossière — elle garantit seulement $P(|X-\mu| \geq 2\sigma) \leq \frac{1}{4}$, là où on observe souvent moins de 5 % en simulation. Universelle, donc prudente.