Probabilités — Terminale Spécialité

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ si elle a pour densité :

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Propriétés :

• Espérance : $E(X) = \mu$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sigma$
• Symétrique par rapport à $\mu$
• $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68\%$
• $P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95\%$
• $P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\%$

Standardisation : $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$

Intervalle de fluctuation au seuil $1-\alpha$ pour une proportion $p$ observée sur $n$ essais :

$I_f = \left[p - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},\; p + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$

Pour 95% : $z_{0{,}025} \approx 1{,}96$. Approximation simplifiée au bac : $p \pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Intervalle de confiance : l'intervalle $\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}},\, f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ capture la vraie proportion $p$ avec une probabilité ≈ 95%.

✏️ Exemple — Intervalle de confiance

La loi des grands nombres ne dit PAS qu'après une série de défaites, une victoire est "due". Le résultat d'un futur tirage est indépendant des résultats passés. Cette erreur s'appelle le "Gambler's fallacy" (erreur du joueur).

La loi normale est omniprésente dans la nature et les statistiques : taille des individus, scores aux tests, erreurs de mesure. Ce n'est pas un hasard — le théorème central limite explique pourquoi : la somme de beaucoup de variables aléatoires indépendantes suit toujours (approximativement) une loi normale.