✅ À retenir

P \Rightarrow Q ("P implique Q") est fausse uniquement si P vraie et Q fausse.
Contraposée : P \Rightarrow Q équivaut à \neg Q \Rightarrow \neg P. Même valeur de vérité !
\forall signifie 'pour tout'. \exists signifie 'il existe'. La négation de \forall est \exists, et vice-versa.

📖 Définition — Connecteurs logiques

Connecteur	Symbole	Vrai quand
ET (conjonction)	$P \wedge Q$	P et Q toutes deux vraies
OU (disjonction)	$P \vee Q$	Au moins l'une vraie
NON (négation)	$\neg P$	P est fausse
IMPLIQUE	$P \Rightarrow Q$	Faux ssi P vraie et Q fausse
ÉQUIVAUT	$P \Leftrightarrow Q$	Même valeur de vérité

📖 Définition — Opérations sur les ensembles

Pour $A$ et $B$ deux ensembles inclus dans un univers $E$ :

Opération	Notation	Définition
Intersection	$A \cap B$	Éléments dans A et dans B
Union	$A \cup B$	Éléments dans A ou dans B
Complémentaire	$\bar{A}$ ou $A^c$	Éléments de E pas dans A
Différence	$A \setminus B$	Éléments dans A mais pas dans B

Formule de l'union : $\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$

🔢 Méthode — Raisonner par l'absurde

Suppose que la propriété à prouver est FAUSSE (négation de la conclusion).
Raisonne logiquement à partir de cette supposition.
Aboutis à une contradiction (avec une hypothèse, un axiome ou une vérité connue).
Conclus : la supposition était fausse, donc la propriété est vraie.

✏️ Exemple — Raisonnement par l'absurde

💡

Pour nier une proposition avec quantificateur : $\neg(\forall x, P(x)) = \exists x, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x, P(x)) = \forall x, \neg P(x)$ . La négation échange ∀ et ∃.

⚠️

P ⟹ Q n'est PAS la même chose que Q ⟹ P (réciproque). Exemple : "x = 2 ⟹ x² = 4" (vrai), mais "x² = 4 ⟹ x = 2" (faux : x peut être −2). Toujours vérifier dans quel sens va l'implication.

La logique, c'est le langage des maths. Quand tu lis "si A alors B", c'est une implication A ⟹ B. Sa contraposée (non B ⟹ non A) est équivalente — pratique quand l'implication directe est difficile à prouver !

🎯 Mini-quiz

1. Quelle est la contraposée de 'x pair ⟹ x² pair' ?

2. A={1,2,3}, B={2,3,4}. Quel est A∩B ?

3. La négation de '∀x, P(x)' est :