✅ À retenir

Une **proposition** est un énoncé qui est soit vrai, soit faux.
P \Rightarrow Q (« P implique Q ») est fausse **uniquement** si P est vraie et Q fausse.
**Réciproque** de P \Rightarrow Q : Q \Rightarrow P — elle n'a **aucune raison** d'avoir la même valeur de vérité.
**Contraposée** de P \Rightarrow Q : « non Q » \Rightarrow « non P » — elle, est **toujours équivalente** à l'implication de départ.
Pour montrer qu'une proposition « pour tout … » est **fausse**, il suffit d'un **contre-exemple**.
La négation de « **pour tout** x, P(x) » est « **il existe** un x tel que P(x) est fausse » (et réciproquement).
Ensembles : \in (appartient), \subset (est inclus dans), \cap (et), \cup (ou), \varnothing (vide), \text{Card}(A) (nombre d'éléments).

📖 Définition — Connecteurs logiques

Connecteur	Notation	La proposition est vraie quand…
ET	« $P$ et $Q$ »	$P$ et $Q$ sont toutes deux vraies
OU	« $P$ ou $Q$ »	au moins une des deux est vraie (le « ou » n'est jamais exclusif en maths)
NON	« non $P$ »	$P$ est fausse
IMPLIQUE	$P \Rightarrow Q$	sauf si $P$ est vraie et $Q$ fausse
ÉQUIVAUT	$P \Leftrightarrow Q$	$P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité

$P \Leftrightarrow Q$ signifie exactement : $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ .

📖 Définition — Vocabulaire des ensembles

$x \in A$ : l'élément $x$ appartient à l'ensemble $A$ .
$A \subset B$ : $A$ est inclus dans $B$ , c'est-à-dire que tout élément de $A$ est aussi élément de $B$ .
$\varnothing$ : l'ensemble vide, qui ne contient aucun élément.
$\text{Card}(A)$ : le cardinal de $A$ , son nombre d'éléments (pour $A$ fini).

Pour $A$ et $B$ inclus dans un ensemble de référence $E$ :

Opération	Notation	Éléments concernés
Intersection	$A \cap B$	dans $A$ et dans $B$
Réunion	$A \cup B$	dans $A$ ou dans $B$
Complémentaire	$\overline{A}$ ou $E \setminus A$	dans $E$ mais pas dans $A$

On rencontre aussi les couples $(x\,;y)$ et le produit cartésien $A \times B$ , ensemble de tous les couples dont le premier terme est dans $A$ et le second dans $B$ .

💡

Les connecteurs « et » / « ou » et les opérations $\cap$ / $\cup$ sont deux visages de la même idée : $x \in A \cap B$ signifie « $x \in A$ et $x \in B$ », et $x \in A \cup B$ signifie « $x \in A$ ou $x \in B$ ».

🔢 Méthode — Nier une proposition quantifiée

Repère le quantificateur : la proposition parle-t-elle de **tous** les objets, ou de **l'existence** d'au moins un ?
Échange-le : la négation de « pour tout » est « il existe », la négation de « il existe » est « pour tout ».
Nie ensuite la propriété elle-même.
Vérifie sur un cas concret : la proposition et sa négation ne doivent jamais être vraies en même temps.

✏️ Exemple — Nier, et réfuter par contre-exemple

🔢 Méthode — Raisonner par l'absurde

Suppose que la propriété à démontrer est **fausse**.
Raisonne logiquement à partir de cette supposition.
Aboutis à une **contradiction** avec une hypothèse ou un fait déjà établi.
Conclus : la supposition était intenable, donc la propriété est vraie.

✏️ Exemple — Raisonnement par l'absurde : √2 est irrationnel

⚠️

Une implication et sa réciproque n'ont rien à voir. « $x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$ » est vraie, mais sa réciproque « $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ » est fausse ( $x$ peut valoir $-2$ ).

En revanche, la contraposée « $x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq 2$ » est vraie, comme toujours. Ne confonds donc jamais réciproque et contraposée.

La contraposée est l'arme secrète du mathématicien. « Si $p^2$ est pair alors $p$ est pair » a l'air difficile à attaquer de front. Mais sa contraposée — « si $p$ est impair alors $p^2$ est impair » — se démontre en deux lignes : $p = 2k+1$ donne $p^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$ , un impair. Même énoncé, difficulté divisée par dix : il suffisait de le retourner.

🎯 Mini-quiz

1. Quelle est la contraposée de « $x$ pair $\Rightarrow$ $x^2$ pair » ?

2. Soit $A=\{1;2;3\}$ et $B=\{2;3;4\}$. Que vaut $A \cap B$ ?

3. Quelle est la négation de « tous les élèves de la classe ont réussi » ?

Logique et ensembles

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