Trigonométrie & cercle trigonométrique — Première Spécialité

✅ À retenir

• Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon 1 centré en O, orienté dans le sens direct.
• Un angle \theta en radians : \pi rad = 180°, donc 1° = \dfrac{\pi}{180} rad.
• \cos(\theta) = abscisse du point M ; \sin(\theta) = ordonnée du point M. Donc -1 \leqslant \cos\theta \leqslant 1 et -1 \leqslant \sin\theta \leqslant 1.
• M est sur le cercle de rayon 1, donc \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
• Valeurs : \cos(0)=1, \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}, \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.
• Périodicité : \cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta) et \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta).
• Parité : \cos(-\theta)=\cos(\theta) (pair) ; \sin(-\theta)=-\sin(\theta) (impair).

📖 Définition — Cercle trigonométrique

🔢 Méthode — Placer l'image d'un réel sur le cercle

1. Retirer (ou ajouter) autant de tours 2\pi que nécessaire pour se ramener à un réel de [0\,;2\pi[.
2. Repérer les quatre repères du cercle : 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} — puis situer le réel entre deux d'entre eux.
3. Placer M et lire \cos (abscisse) et \sin (ordonnée).
4. Exemple : \frac{13\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi a la même image que \frac{\pi}{6}.

🔢 Méthode — Cosinus et sinus des angles associés

1. Ramener l'angle à un angle remarquable \alpha \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right] (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} ou \frac{\pi}{3}).
2. Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : \cos(-\alpha)=\cos\alpha et \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.
3. Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha et \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.
4. Symétrie par rapport à l'origine : \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha et \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha.
5. Symétrie par rapport à la droite y=x : \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha et \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha.
6. Vérifier le SIGNE en regardant dans quel quadrant tombe le point : c'est le contrôle le plus sûr.

🎯 Mini-quiz