Trigonométrie & cercle trigonométrique — Première Spécialité

✅ À retenir

• Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon 1 centré en O, orienté dans le sens direct.
• Un angle \theta en radians : \pi rad = 180°, donc 1° = \dfrac{\pi}{180} rad.
• \cos(\theta) = abscisse du point M ; \sin(\theta) = ordonnée du point M.
• Valeurs : \cos(0)=1, \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}, \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.
• Périodicité : \cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta) et \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta).
• Parité : \cos(-\theta)=\cos(\theta) (pair) ; \sin(-\theta)=-\sin(\theta) (impair).

📖 Définition — Cercle trigonométrique

🔢 Méthode — Résoudre cos(x) = a

1. Si $|a| > 1$ : pas de solution réelle.
2. Trouver l'angle $\theta_0 \in [0;\pi]$ tel que $\cos(\theta_0) = a$.
3. Solutions générales : $x = \theta_0 + 2k\pi$ ou $x = -\theta_0 + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
4. Exemple : $\cos(x) = \frac{1}{2}$ → $\theta_0 = \frac{\pi}{3}$ → $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

🔢 Méthode — Résoudre sin(x) = a

1. Trouver $\theta_0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ tel que $\sin(\theta_0) = a$.
2. Solutions générales : $x = \theta_0 + 2k\pi$ ou $x = \pi - \theta_0 + 2k\pi$.
3. Exemple : $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ → $\theta_0 = \frac{\pi}{4}$ → $x = \frac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x = \frac{3\pi}{4}+2k\pi$.

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