✅ L'essentiel

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré en O, orienté dans le sens direct.
Un angle \theta en radians : \pi rad = 180°, donc 1° = \dfrac{\pi}{180} rad.
\cos(\theta) = abscisse du point M ; \sin(\theta) = ordonnée du point M. Donc -1 \leqslant \cos\theta \leqslant 1 et -1 \leqslant \sin\theta \leqslant 1.
M est sur le cercle de rayon 1, donc \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
Valeurs : \cos(0)=1, \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}, \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Périodicité : \cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta) et \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta).
Parité : \cos(-\theta)=\cos(\theta) (pair) ; \sin(-\theta)=-\sin(\theta) (impair).

📖 Rappel — Cosinus et sinus dans le triangle rectangle

Au collège : pour un angle aigu $\alpha$ d'un triangle rectangle, $\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ . Ce sont des quotients de longueurs, compris entre 0 et 1, et $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ , $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$ .

Ces définitions ne fonctionnent que pour un angle entre 0° et 90°. Le cercle trigonométrique les étend à tous les angles, et c'est là que cosinus et sinus deviennent parfois négatifs.

📖 Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon $1$ centré à l'origine du repère, parcouru dans le sens antihoraire (sens direct). À tout réel $\theta$ on associe le point $M(\cos\theta\;;\;\sin\theta)$ sur ce cercle.

Enroulement : on « enroule » la droite des réels autour du cercle à partir du point $I(1\,;0)$ : au réel $x$ correspond le point $M$ obtenu en parcourant un arc de longueur $|x|$ , dans le sens direct si $x>0$ , indirect si $x<0$ . Un tour complet mesure $2\pi$ , donc $x$ et $x+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ) ont la même image.

Conversion : $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \dfrac{\pi}{180}$

🔢 Méthode — Placer l'image d'un réel sur le cercle

Retirer (ou ajouter) autant de tours 2\pi que nécessaire pour se ramener à un réel de [0\,;2\pi[.
Repérer les quatre repères du cercle : 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} — puis situer le réel entre deux d'entre eux.
Placer M et lire \cos (abscisse) et \sin (ordonnée).
Exemple : \frac{13\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi a la même image que \frac{\pi}{6}.

🔢 Méthode — Cosinus et sinus des angles associés

Ramener l'angle à un angle remarquable \alpha \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right] (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} ou \frac{\pi}{3}).
Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : \cos(-\alpha)=\cos\alpha et \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.
Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha et \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.
Symétrie par rapport à l'origine : \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha et \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha.
Symétrie par rapport à la droite y=x : \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha et \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha.
Vérifier le SIGNE en regardant dans quel quadrant tombe le point : c'est le contrôle le plus sûr.

✏️ Exemple — Valeurs remarquables et angles associés

⚠️

Sur le cercle trigonométrique, $\cos(\theta)$ est l'abscisse et $\sin(\theta)$ est l'ordonnée. Beaucoup les inversent. Mémo : dans l'ordre alphabétique, cos vient avant sin comme x vient avant y — donc $M(\cos\theta\,;\,\sin\theta)$ , jamais l'inverse.

Le radian n'a rien d'arbitraire, contrairement au degré (pourquoi 360 ? parce que les Babyloniens comptaient en base 60). En radians, la mesure d'un angle est la longueur de l'arc qu'il découpe sur le cercle de rayon $1$ : un angle devient une longueur. C'est pour ça que toutes les formules avancées de trigonométrie ne fonctionnent qu'en radians.

🎯 Mini-quiz

1. Convertir 150° en radians :

2. \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) =

3. \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) =

Trigonométrie & cercle trigonométrique — Première Spécialité

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