✅ À retenir
- Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon 1 centré en O, orienté dans le sens direct.
- Un angle \theta en radians : \pi rad = 180°, donc 1° = \dfrac{\pi}{180} rad.
- \cos(\theta) = abscisse du point M ; \sin(\theta) = ordonnée du point M.
- Valeurs : \cos(0)=1, \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}, \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.
- Périodicité : \cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta) et \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta).
- Parité : \cos(-\theta)=\cos(\theta) (pair) ; \sin(-\theta)=-\sin(\theta) (impair).
📖 Définition — Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon centré à l'origine du repère, parcouru dans le sens antihoraire (sens direct). À tout réel on associe le point sur ce cercle.
Conversion :
🔢 Méthode — Résoudre cos(x) = a
- Si |a| > 1 : pas de solution réelle.
- Trouver l'angle \theta_0 \in [0;\pi] tel que \cos(\theta_0) = a.
- Solutions générales : x = \theta_0 + 2k\pi ou x = -\theta_0 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.
- Exemple : \cos(x) = \frac{1}{2} → \theta_0 = \frac{\pi}{3} → x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi.
🔢 Méthode — Résoudre sin(x) = a
- Trouver \theta_0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] tel que \sin(\theta_0) = a.
- Solutions générales : x = \theta_0 + 2k\pi ou x = \pi - \theta_0 + 2k\pi.
- Exemple : \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} → \theta_0 = \frac{\pi}{4} → x = \frac{\pi}{4}+2k\pi ou x = \frac{3\pi}{4}+2k\pi.
✏️ Exemple — Valeurs remarquables et équations
Sur le cercle trigonométrique, est l'abscisse et est l'ordonnée. Beaucoup les inversent. Mémo : Cos → Colonne x (abscisse) ; Sin → Sommet (ordonnée).
Les radians sont plus naturels que les degrés pour les mathématiques avancées : la dérivée de est seulement en radians. En degrés, il apparaîtrait un facteur partout !
🎯 Mini-quiz
1. Convertir $150°$ en radians :
2. $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ =
3. Les solutions de $\sin(x)=0$ sur $[0;2\pi]$ sont :