⚡ Exercices à imprimer — Fonction exponentielle (Première Spécialité)

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⚡ Fonction exponentielle

Exercice 1★☆☆☆☆

Quel est le signe de e^{3} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. négatif ou nul
  • B. peut être négatif
  • C. nul
  • D. strictement positif

Exercice 2★☆☆☆☆

Simplifie \dfrac{e^{3}}{e^{2}}.

Coche la bonne réponse.

  • A. e^{5}
  • B. e^{6}
  • C. e^{1}
  • D. e^{-1}

Exercice 3★☆☆☆☆

Quelle est la dérivée de f(x) = e^x ?

Coche la bonne réponse.

  • A. xe^x
  • B. e^{x-1}
  • C. e^x
  • D. xe^{x-1}

Exercice 4★★☆☆☆

Résous e^x = e^{4}.

Réponse :

Exercice 5★★☆☆☆

Compare e^{4} et e^{0}.

Coche la bonne réponse.

  • A. e^{4} > e^{0}
  • B. e^{4} = e^{0}
  • C. e^{4} \leq e^{0}
  • D. e^{4} < e^{0}

Exercice 6★★☆☆☆

3 < 3{,}5 < 7. Est-il vrai que e^{3} < e^{3{,}5} < e^{7} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. fausse
  • B. vraie

Exercice 7★★★☆☆

Résous e^{2x} = e^{4x + 6}. Donne x (fraction a/b si besoin).

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

Résous e^{2x+1} = e^{-3}.

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

Inéquation : e^{2x} > e^{-2}. L'exponentielle est strictement croissante.

  1. a) Comme e^u > e^v \Leftrightarrow u > v, l'inéquation se ramène à : 2x > ?

    Réponse :

  2. b) Pour isoler x, on divise les deux membres par 2. Le sens de l'inégalité :
    • A. est conservé (on divise par un nombre positif)
    • B. s'inverse (on divise par un nombre négatif)
    • C. dépend du signe de x
  3. c) La solution s'écrit x \;?\; -1. Choisis le symbole :
    • A. >
    • B. <
    • C. =

Exercice 10★★★★☆

f(x) = x \cdot e^{-x}. Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'.

  1. a) Calcule f'(x) (règle du produit, u=x, v=e^{-x}). Choisis l'expression correcte :
    • A. (1-x)e^{-x}
    • B. (1+x)e^{-x}
    • C. (x-1)e^{-x}
    • D. -e^{-x}
  2. b) f'(x) = 0 en x = ?

    Réponse :

  3. c) Sur ]-\infty ; 1[, on a x < 1 donc 1 - x > 0. f'(x) y est :
    • A. positif
    • B. négatif
    • C. de signe variable
  4. d) Quand x \to +\infty, f(x) \to ?
    • A. 0
    • B. +∞
    • C. −∞
    • D. 1

Exercice 11★★★★☆

On pose t = e^x (donc t > 0) dans : e^{2x} - 4e^x + 3 = 0.

  1. a) Avec t = e^x, l'équation devient t^2 - 4t + 3 = 0. Combien vaut le produit des deux racines ?

    Réponse :

  2. b) Les racines sont t = 1 et t = ? (l'autre solution de t^2 - 4t + 3 = 0).

    Réponse :

  3. c) De e^x = 1, on déduit la première solution x = ?

    Réponse :

  4. d) L'autre racine t = 3 impose e^x = 3. Comme 3 > 1 = e^0 et que e^x est strictement croissante, la solution x associée est :
    • A. strictement positive
    • B. strictement négative
    • C. nulle

🏆 Défi★★★★★

Quantité initiale 100. Double tous les 20 jours. Modèle: P(t) = P₀×e^(kt).

  1. a) Donne la constante k (forme exacte) sachant que la quantité double en 20 jours, soit e^{k20} = 2.
    • A. \ln(2) \times 20
    • B. \dfrac{\ln(20)}{2}
    • C. \dfrac{20}{\ln(2)}
    • D. \dfrac{\ln(2)}{20}
  2. b) Calcule P(60).

    Réponse :

  3. c) À t=60, combien de fois la quantité a-t-elle doublé ?

    Réponse :

  4. d) Pour quelle valeur de t a-t-on P(t) = 400 ?

    Réponse :

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Corrigé — Fonction exponentielle (Première Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. strictement positif — e^x > 0 pour tout réel x. Donc e^{3} > 0.
  2. 2. e^{1} — e^a / e^b = e^{a-b}, donc e^{3} / e^{2} = e^{1}.
  3. 3. e^x — La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e^x)' = e^x.
  4. 4. 4 — e^x = e^{4} → x = 4 (exp est injective).
  5. 5. e^{4} > e^{0} — e^x est strictement croissante. Comme 4 > 0, on a e^{4} > e^{0}.
  6. 6. vraie — La fonction exponentielle est strictement croissante : si a < x < b alors e^a < e^x < e^b.
  7. 7. -3 — Injectivité : 2x = 4x + 6 \Rightarrow (2-4)x = 6 \Rightarrow x = -3.
  8. 8. -2 — e^u = e^v \Leftrightarrow u = v. Donc 2x +1 = -3 \Rightarrow x = -2.
  9. 9. a) -2 ; b) est conservé (on divise par un nombre positif) ; c) > — e^x strictement croissante : e^{2x} > e^{-2} \Leftrightarrow 2x > -2. On divise par a > 0 : le sens est conservé. Donc x > -1.
  10. 10. a) (1-x)e^{-x} ; b) 1 ; c) positif ; d) 0 — f'(x)=(1-x)e^(-x). Maximum en x=1 : f(1)=1/e≈0,3679. f→0 en +∞.
  11. 11. a) 3 ; b) 3 ; c) 0 ; d) strictement positive — t = e^x : t^2 - 4t + 3 = 0, soit (t-1)(t-3)=0. t=1 \Rightarrow x=0 ; t=3 \Rightarrow e^x=3>1, donc x>0 (par croissance de l'exponentielle).
  12. 🏆 a) \dfrac{\ln(2)}{20} ; b) 800 ; c) 3 ; d) 40 — k=ln(2)/20=0,0347. P(60)=800.
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