⚡ Exercices à imprimer — Fonction exponentielle (Première Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Première Spécialité⚡ Fonction exponentielle
Exercice 1★☆☆☆☆
Compare e^{-1} et e^{3} (sachant que -1 < 3).
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Simplifie e^{3} \times e^{5}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Quel est le signe de e^{-0{,}5} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Calcule la dérivée de f(x) = e^{-2x}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
-2 < -0{,}5 < 1. Est-il vrai que e^{-2} < e^{-0{,}5} < e^{1} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Compare e^{5} et e^{0}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
Résous e^{2x} = e^{x + 5}. Donne x (fraction a/b si besoin).
Réponse :
Exercice 8★★★☆☆
Résous e^{3x+3} = e^{x+7}.
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
Soit f(x) = e^{2x+2}. Donne f'(1) sous forme exacte.
Coche la bonne réponse.
Exercice 10★★★★☆
f(x) = (2x+1) \cdot e^{-x}. Règle du produit.
- a) Calcule f'(x) avec u=2x+1, v=e^{-x}, u'=2, v'=-e^{-x}. Choisis l'expression correcte :
- b) f'(x) = 0 pour x \geq 0 : résoudre 1 - 2x = 0. Écris x sous la forme a/b.
Réponse :
- c) Donne f(1/2) sous forme exacte (en x=1/2, \,2x+1=2) :
- d) Sur [0;+\infty[, f' passe du positif au négatif en ce point. f y admet :
Exercice 11★★★★☆
N(t) = 500 \cdot e^{0{,}5t}. On donne e ≈ 2,718.
- a) Quelle est la population initiale N(0) ?
Réponse :
- b) Calcule N(3) (arrondi au dixième). Choisis la bonne valeur :
- c) Calcule N(6) (arrondi au dixième). Choisis la bonne valeur :
- d) Calcule N'(0), la vitesse initiale de croissance (arrondi au centième).
Réponse :
🏆 Défi★★★★★
Deux réels x et y vérifient e^{x} \times e^{y} = e^{-6} et \dfrac{e^{x}}{e^{y}} = e^{2}. Calcule le produit x\,y.
Réponse :
Corrigé — Fonction exponentielle (Première Spécialité) · Feuille n°0
- 1. e^{-1} < e^{3} — La fonction exponentielle est **strictement croissante**, donc -1 < 3 \Rightarrow e^{-1} < e^{3}.
- 2. e^{8} — e^a \times e^b = e^{a+b}, donc e^{3} \times e^{5} = e^{8}.
- 3. strictement positif — Pour tout réel x, e^x > 0. Donc e^{-0{,}5} > 0.
- 4. -2e^{-2x} — (e^{ax})' = a \cdot e^{ax} = -2e^{-2x}.
- 5. vraie — La fonction exponentielle est strictement croissante : si a < x < b alors e^a < e^x < e^b.
- 6. e^{5} > e^{0} — e^x est strictement croissante. Comme 5 > 0, on a e^{5} > e^{0}.
- 7. 5 — Injectivité : 2x = 1x + 5 \Rightarrow (2-1)x = 5 \Rightarrow x = 5.
- 8. 2 — e^u = e^v \Leftrightarrow u = v. Donc 3x +3 = 1x +7 \Rightarrow (2)x = 4 \Rightarrow x = 2.
- 9. 2e^{4} — f'(x) = 2 e^{2x+2}. f'(1) = 2 \cdot e^{4} (forme exacte).
- 10. a) e^{-x}(2-2x-1) ; b) 1/2 ; c) 2\,e^{-1/2} ; d) un maximum — f'(x)=e^(-x)(2-2x-1)=0 → x=1/2. Maximum f(1/2)=2·e^(-1/2).
- 11. a) 500 ; b) 2240{,}8 ; c) 10042{,}8 ; d) 250.0 — N(0)=500. N'(t) = 250 e^(0,5t). N'(0) = 250.
- 🏆 8 — e^x e^y = e^{x+y} = e^{-6} donne x + y = -6 ; e^x / e^y = e^{x-y} = e^{2} donne x - y = 2. D'où x = -2, y = -4, et x\,y = 8.
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