🔀 Exercices à imprimer — Pêle-mêle (Terminale Spécialité)

Exercice 1★☆☆☆☆

Associe chaque hypothèse à la conclusion que le cours permet d'en tirer.

Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.

Exercice 2★☆☆☆☆

Simplifie \ln(4^{3}).

Coche la bonne réponse.

• A. (\ln 4)^3
• B. \ln(4+3)
• C. \ln 4^3
• D. 3\ln 4

Exercice 3★☆☆☆☆

Soit f(x) = 7. Quelle est f'(x) ?

Coche la bonne réponse.

• A. 1
• B. -1
• C. 0
• D. 7

Exercice 4★★☆☆☆

f est continue sur [-2, 5], f(-2) = -4 et f(5) = 3. Quelle est la conclusion du TVI ?

Coche la bonne réponse.

• A. On ne peut pas conclure sans plus d'informations
• B. Il existe au moins une valeur c \in ]-2 ; 5[ telle que f(c) = 0
• C. Il existe exactement une valeur c telle que f(c) = 0
• D. Il n'existe pas de valeur c telle que f(c) = 0

Exercice 5★★☆☆☆

Donner une primitive de f(x) = 4x^{2}.

Coche la bonne réponse.

• A. \dfrac{4}{3}x^{3} + C
• B. 8x^{1} + C
• C. 4x^{3} + C
• D. \dfrac{4}{2}x^{3} + C

Exercice 6★★☆☆☆

Calculer \ln\left(\frac{1}{e^{2}}\right).

Réponse :

Exercice 7★★★☆☆

Dans le développement de (3x - 1)^{4}, quel est le coefficient de x^{3} ?

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

On isole d'abord \cos(x), puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique.

1. a) En isolant, 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 devient \cos(x) = ?
   • A. \sqrt{2}
   • B. \dfrac{\sqrt{2}}{2}
   • C. -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
   • D. 2\sqrt{2}
2. b) La solution de \cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} dans [0;\pi] est :
   • A. \dfrac{\pi}{2}
   • B. \dfrac{\pi}{4}
   • C. \dfrac{7\pi}{4}
   • D. \pi
3. c) La seconde solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Laquelle ?
   • A. 2\pi
   • B. \dfrac{\pi}{4}
   • C. \dfrac{7\pi}{4}
   • D. \dfrac{3\pi}{2}

Exercice 9★★★☆☆

Suite géométrique de premier terme u_0 = 3 et de raison q = \dfrac{1}{4}.

1. a) Quel critère sur la raison q détermine la limite de q^n pour une suite géométrique ?
   • A. La valeur du premier terme u_0
   • B. La parité de n
   • C. Le signe de q uniquement
   • D. La position de |q| par rapport à 1
2. b) Ici |q| < 1. Quelle est alors la limite de u_n = 3 \times q^n ?

   Réponse :

Exercice 10★★★★☆

On dispose de E(X) = 6, E(Y) = 5, avec a = 2 et b = 4.

1. a) Quelle formule donne E(2X + 4Y) ?
   • A. E(2X+4Y) = E(X) + E(Y)
   • B. E(2X+4Y) = 2^2 E(X) + 4^2 E(Y)
   • C. E(2X+4Y) = 2\,E(X) + 4\,E(Y)
   • D. E(2X+4Y) = 2\,E(X) \times 4\,E(Y)
2. b) Calcule le premier terme, contribution de X à l'espérance.

   Réponse :

3. c) Cette formule exige-t-elle que X et Y soient indépendantes ?
   • A. Oui : sans indépendance on ne peut pas additionner les espérances
   • B. Non : la linéarité de l'espérance est toujours vraie, même si X et Y sont liées
   • C. On ne peut pas savoir sans connaître la loi conjointe

Exercice 11★★★★☆

Point M(2;0;2), plan \mathcal{P} : 2x + 2y + z = 2 (vecteur normal \vec{n}=(2;2;1)).

1. a) Quelle expression donne la distance d(M,\mathcal{P}) ?
   • A. \dfrac{|ax_M+by_M+cz_M-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
   • B. |ax_M+by_M+cz_M-d|
   • C. \dfrac{ax_M+by_M+cz_M-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
   • D. \dfrac{|ax_M+by_M+cz_M-d|}{a^2+b^2+c^2}
2. b) Calcule le numérateur |ax_M+by_M+cz_M-d| pour le point M.

   Réponse :

3. c) Calcule a^2+b^2+c^2 (le carré de la norme du vecteur normal).

   Réponse :

4. d) Que peut-on dire de la position de M par rapport à \mathcal{P} ?
   • A. M appartient à \mathcal{P} car le numérateur est non nul
   • B. On ne peut pas conclure sans connaître un vecteur directeur de \mathcal{P}
   • C. M est à distance non nulle de \mathcal{P} : il n'est pas sur le plan

🏆 Défi★★★★★

L'équation x^3 + x = 41 a une unique solution \alpha (car x \mapsto x^3 + x est continue et strictement croissante). En balayant les entiers puis en appliquant la dichotomie, combien d'étapes de dichotomie faut-il AU MINIMUM pour obtenir \alpha à 10^{-2} près ?

Réponse :