🔀 Exercices à imprimer — Pêle-mêle (Terminale Spécialité)

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🔀 Pêle-mêle

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelle expression est égale à \ln(3 \times 5) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln 3 - \ln 5
  • B. \ln 3 + \ln 5
  • C. \ln 8
  • D. \ln 3 \times \ln 5

Exercice 2★☆☆☆☆

Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{2x} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. +\infty
  • B. 1
  • C. 0
  • D. \frac{1}{1}

Exercice 3★☆☆☆☆

Quelle est une primitive de f(x) = \sin(x) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. -\cos(x) + C
  • B. -\sin(x) + C
  • C. \sin(x) + C
  • D. \cos(x) + C

Exercice 4★★☆☆☆

Dériver f(x) = e^{5x-1}.

Coche la bonne réponse.

  • A. e^{5x-1}
  • B. 5xe^{5x-1}
  • C. 5e^{5x-1}
  • D. 25e^{5x-1}

Exercice 5★★☆☆☆

Quelle est la limite de la suite géométrique de raison q = 1/2 quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

  • A. +∞
  • B. -∞
  • C. 0
  • D. 1

Exercice 6★★☆☆☆

Simplifier \ln(5) + \ln(4).

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(21)
  • B. \ln(20)
  • C. \ln(9)
  • D. \ln(5)\ln(4)

Exercice 7★★★☆☆

On calcule \displaystyle\int_0^{3} e^x\,dx. Rappel : la primitive de e^x est e^x, et e \approx 2{,}72.

  1. a) Quelle est une primitive F de e^x ?
    • A. F(x) = e^x
    • B. F(x) = xe^x
    • C. F(x) = e^{x+1}
    • D. F(x) = e^{x-1}
  2. b) Calcule F(0).

    Réponse :

  3. c) La valeur exacte est e^{3} - 1. Quel est l'entier le plus proche ?
    • A. 19
    • B. 21
    • C. 17
    • D. 38

Exercice 8★★★☆☆

\vec{u} = (2;2;1), \vec{v} = (1;-2;2), \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}.

  1. a) Comment obtient-on les coordonnées de \vec{w} à partir de celles de \vec{u} et \vec{v} ?
    • A. On multiplie chaque coordonnée de \vec{u} par a, celle de \vec{v} par b, puis on additionne composante par composante
    • B. On additionne d'abord \vec{u} et \vec{v}, puis on multiplie le tout par a+b
    • C. On multiplie les coordonnées de \vec{u} par celles de \vec{v}
  2. b) Donne la coordonnée x de \vec{w}.

    Réponse :

  3. c) Donne la coordonnée z de \vec{w}.

    Réponse :

  4. d) Le vecteur \vec{w} est-il colinéaire à \vec{u} ?
    • A. Oui, car \vec{w} est une combinaison où intervient \vec{u}
    • B. Non, sauf si \vec{v} est lui-même colinéaire à \vec{u}
    • C. On ne peut pas le savoir sans calculer la norme de \vec{w}

Exercice 9★★★☆☆

La fonction ln est définie pour des arguments strictement positifs. On utilisera \ln(X) = k \Leftrightarrow X = e^k.

  1. a) Quelle est la condition pour que \ln(3x + 3) soit défini ?
    • A. 3x + 3 > 0
    • B. 3x + 3 \geq 0
    • C. x > 0
    • D. 3x + 3 \neq 0
  2. b) \ln(3x + 3) = 2 est équivalent à 3x + 3 = ?
    • A. e^{2}
    • B. 2
    • C. e^{-2}
    • D. 10^{2}
  3. c) Donc x =
    • A. x = \frac{e^{2} - 3}{3}
    • B. x = \frac{e^{2} + 3}{3}
    • C. x = \frac{2 - 3}{3}
    • D. x = \frac{e^{2}}{3} - 3

Exercice 10★★★★☆

On découpe un carré de côté x aux quatre coins d'une feuille 30 \times 18 cm.

  1. a) Au-delà de quelle valeur le pliage devient-il impossible (une longueur négative apparaît) ?
    • A. x < 9 (moitié du PLUS PETIT côté)
    • B. x < 15 (moitié du plus grand côté)
    • C. x < 30 (le grand côté entier)
    • D. x < 18 (le petit côté entier)
  2. b) Après avoir dérivé V et résolu V'(x)=0, donne l'abscisse du maximum (arrondie au centième).

    Réponse :

  3. c) V' possède une seconde racine \approx 12.36. Pourquoi l'écarte-t-on ?
    • A. Elle est supérieure à 9 : hors du domaine autorisé
    • B. Une dérivée n'a jamais deux racines valables
    • C. C'est celle qui donne le plus petit volume, donc on la garde

Exercice 11★★★★☆

Cinématique : position→vitesse (1ère dérivée)→accélération (2e dérivée).

  1. a) Quelle est l'expression de la vitesse v(t) = s'(t) ?
    • A. 6t -1
    • B. 3t -1
    • C. 6t
    • D. 6 -1
  2. b) En dérivant encore, quelle est l'accélération a(t) = v'(t) ? (en m/s²)

    Réponse :

  3. c) Quelle est la vitesse de l'objet à l'instant t = 3 s ? (en m/s)

    Réponse :

  4. d) À t = 3 s, l'objet est-il en train d'accélérer ou de ralentir ?
    • A. il accélère
    • B. il ralentit
    • C. impossible à dire sans connaître sa position

🏆 Défi★★★★★

L'équation x^3 + x = 5 a une unique solution \alpha (car x \mapsto x^3 + x est continue et strictement croissante). En balayant les entiers puis en appliquant la dichotomie, combien d'étapes de dichotomie faut-il AU MINIMUM pour obtenir \alpha à 10^{-2} près ?

Réponse :

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Corrigé — Pêle-mêle (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. \ln 3 + \ln 5 — \ln(ab) = \ln a + \ln b, donc \ln(3 \times 5) = \ln 3 + \ln 5.
  2. 2. 1 — \frac{2x}{2x} = \frac{2}{2} = \frac{1}{1} (fraction simplifiée, constante).
  3. 3. -\cos(x) + C — La primitive de \sin(x) est -\cos(x) + C.
  4. 4. 5e^{5x-1} — (e^u)' = u' \cdot e^u. u' = 5, donc f'(x) = 5e^{5x-1}.
  5. 5. 0 — |q| = |1/2| < 1 → q^n \to 0.
  6. 6. \ln(20) — \ln(a)+\ln(b) = \ln(ab) → \ln(5)+\ln(4) = \ln(20).
  7. 7. a) F(x) = e^x ; b) 1 ; c) 19 — \displaystyle\int_0^{3}e^x\,dx = [e^x]_0^{3} = e^{3} - 1 = e^{3} - 1 \approx 19.085, soit environ 19.
  8. 8. a) On multiplie chaque coordonnée de \vec{u} par a, celle de \vec{v} par b, puis on additionne composante par composante ; b) 8 ; c) 7 ; d) Non, sauf si \vec{v} est lui-même colinéaire à \vec{u} — \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v} = (3×2+2×1;\,3×2+2×-2;\,3×1+2×2) = (8; 2; 7). \vec{v} n'étant pas colinéaire à \vec{u}, \vec{w} ne l'est pas non plus.
  9. 9. a) 3x + 3 > 0 ; b) e^{2} ; c) x = \frac{e^{2} - 3}{3} — \ln(3x + 3)=2 \Leftrightarrow 3x + 3=e^{2} \Leftrightarrow x = \frac{e^{2} - 3}{3} (vérifie x > \frac{-3}{3}).
  10. 10. a) x < 9 (moitié du PLUS PETIT côté) ; b) 3.64 ; c) Elle est supérieure à 9 : hors du domaine autorisé — Domaine : 0 < x < 9 (au-delà, 18-2x < 0). V'(x) = 12x^2 - 192x + 540 a deux racines ; seule x \approx 3.64 est dans le domaine (l'autre, \approx 12.36, le dépasse). C'est là que V est maximal.
  11. 11. a) 6t -1 ; b) 6 ; c) 17 ; d) il accélère — Position s(t), vitesse v(t)=s'(t)=6t - 1, accélération a(t)=6 m/s² (constante).
  12. 🏆 7 — Balayage : f(x) = x^3 + x - 5 vérifie f(1) = -3 < 0 et f(2) = 5 > 0, donc \alpha \in [1, 2] (longueur 1). Après p dichotomies, la longueur est \dfrac{1}{2^p}. On veut \dfrac{1}{2^p} \leq 10^{-2}, soit 2^p \geq 10^{2} = 100, d'où p = 7.
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