🔀 Exercices à imprimer — Pêle-mêle (Terminale Spécialité)

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🔀 Pêle-mêle

Exercice 1★☆☆☆☆

P(A) = 2/5. Calcule P(\bar{A}).

Coche la bonne réponse.

  • A. 1/2
  • B. 3/5
  • C. 2/5
  • D. 4/5

Exercice 2★☆☆☆☆

Qu'est-ce que la continuité d'une fonction sur un intervalle [a, b], intuitivement ?

Coche la bonne réponse.

  • A. La fonction est croissante
  • B. La fonction est définie partout
  • C. La fonction admet une limite en tout point
  • D. La courbe peut être tracée sans lever le crayon

Exercice 3★☆☆☆☆

Énoncé complet du Théorème des Valeurs Intermédiaires pour trouver un zéro : quelles sont les conditions et la conclusion ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 1) f continue sur [a, b] ; 2) f(a) et f(b) de signes opposés ; alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0
  • B. 1) f bornée sur [a, b] ; 2) f(a) + f(b) = 0 ; alors f s'annule
  • C. 1) f continue ; 2) f(a) < 0 et f(b) < 0 ; alors f s'annule
  • D. 1) f dérivable ; 2) f'(a) < 0 < f'(b) ; alors f s'annule

Exercice 4★★☆☆☆

Simplifier 4 \cdot \ln(2).

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(2)^{4}
  • B. \ln(6)
  • C. \ln(8)
  • D. \ln(2^{4})

Exercice 5★★☆☆☆

Donner la valeur exacte de \cos(\pi/4).

Coche la bonne réponse.

  • A. 1
  • B. 0
  • C. 1/2
  • D. \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Exercice 6★★☆☆☆

\lim_{x\to+\infty} \dfrac{5x+3}{2x-1} = ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 0
  • B. 5/2
  • C. 2
  • D. 5

Exercice 7★★★☆☆

Combien y a-t-il de listes ordonnées de 3 éléments distincts tirés parmi 7 éléments (arrangements) ?

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

En utilisant la relation de Pascal : \binom{5}{2} = 10 et \binom{5}{3} = 10. Calcule \binom{6}{3}.

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

\vec{u} = (0;0;-3), \vec{v} = (1;3;1). Calculer \vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}).

Réponse :

Exercice 10★★★★☆

On dispose de E(X) = 8, E(Y) = 3, avec a = 4 et b = 2.

  1. a) Quelle formule donne E(4X + 2Y) ?
    • A. E(4X+2Y) = 4\,E(X) + 2\,E(Y)
    • B. E(4X+2Y) = 4^2 E(X) + 2^2 E(Y)
    • C. E(4X+2Y) = E(X) + E(Y)
    • D. E(4X+2Y) = 4\,E(X) \times 2\,E(Y)
  2. b) Calcule le premier terme, contribution de X à l'espérance.

    Réponse :

  3. c) Cette formule exige-t-elle que X et Y soient indépendantes ?
    • A. Non : la linéarité de l'espérance est toujours vraie, même si X et Y sont liées
    • B. Oui : sans indépendance on ne peut pas additionner les espérances
    • C. On ne peut pas savoir sans connaître la loi conjointe

Exercice 11★★★★☆

Périmètre : 2x + 2y = 60 m. Aire : A(x) = x \times y.

  1. a) Exprimer y en fonction de x à partir de 2x + 2y = 60.
    • A. 30 - x
    • B. 60 - x
    • C. x - 30
    • D. \frac{60}{x}
  2. b) A(x) = x(30 - x). Calculer A'(x).
    • A. 30 - 2x
    • B. 30 + 2x
    • C. -2x
    • D. 30
  3. c) A'(x) = 0 donne x = ? (en m).

    Réponse :

  4. d) L'aire maximale vaut (en m²) :

    Réponse :

🏆 Défi★★★★★

f continue sur [-3, 3]. Tableau de variations : f croît de f(-3) = -1 jusqu'au maximum f(-1) = 6, puis décroît jusqu'au minimum f(1) = -3, puis croît jusqu'à f(3) = 3. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions sur [-3, 3] ?

Réponse :

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Corrigé — Pêle-mêle (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. 3/5 — P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 2/5 = 3/5.
  2. 2. La courbe peut être tracée sans lever le crayon — Une fonction est continue sur [a, b] si sa courbe peut être tracée sans lever le crayon : il n'y a pas de saut, de trou ou d'asymptote sur l'intervalle.
  3. 3. 1) f continue sur [a, b] ; 2) f(a) et f(b) de signes opposés ; alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0 — TVI : si f est continue sur [a,b] et f(a) \cdot f(b) < 0, alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0.
  4. 4. \ln(2^{4}) — k\ln(a)=\ln(a^k) donc 4\ln(2)=\ln(2^{4}).
  5. 5. \dfrac{\sqrt{2}}{2} — Valeur remarquable : \cos(\pi/4) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  6. 6. 5/2 — On divise par x : \dfrac{5+3/x}{2-1/x} \to \dfrac{5}{2} = 5/2.
  7. 7. 210 — A_{7}^{3} = \dfrac{7!}{(7-3)!} = \dfrac{7!}{4!} = 210.
  8. 8. 20 — \binom{6}{3} = \binom{5}{2} + \binom{5}{3} = 10 + 10 = 20.
  9. 9. 6 — \vec{u}+\vec{v} = (1;3;-2), puis \vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = 0\times(1) + 0\times(3) + -3\times(-2) = 6.
  10. 10. a) E(4X+2Y) = 4\,E(X) + 2\,E(Y) ; b) 32 ; c) Non : la linéarité de l'espérance est toujours vraie, même si X et Y sont liées — Par linéarité, E(4X+2Y) = 4\,E(X) + 2\,E(Y) = 4\times8 + 2\times3 = 32 + 6 = 38. Cette propriété est TOUJOURS vraie ; seule l'additivité de la variance requiert l'indépendance.
  11. 11. a) 30 - x ; b) 30 - 2x ; c) 15 ; d) 225 — y = 30 - x, A(x) = x(30-x), A'(x) = 30-2x = 0 \Rightarrow x = 15, y = 15, A_{\max} = 225 m².
  12. 🏆 3 — Branche 1 (de -1 à 6, croissante) : une solution ssi -1 < 0 < 6 → oui. Branche 2 (de 6 à -3, décroissante) : ssi -3 < 0 < 6 → oui. Branche 3 (de -3 à 3, croissante) : ssi -3 < 0 < 3 → oui. Total : 3 solutions. Aux valeurs k = 6 ou k = -3 (extrema), on compterait la tangence une seule fois.
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