🔀 Exercices à imprimer — Pêle-mêle (Terminale Complémentaire)

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🔀 Pêle-mêle

Exercice 1★☆☆☆☆

Laquelle de ces inégalités caractérise la convexité de f sur I ?

Coche la bonne réponse.

A. f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)
B. f(a+b) \leq f(a)+f(b)
C. f(\lambda a + (1-\lambda)b) = \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)
D. f(\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)

Exercice 2★☆☆☆☆

Calculer \int_{3}^{7} 6 \; dx.

Coche la bonne réponse.

A. 42
B. 10
C. 4
D. 24

Exercice 3★☆☆☆☆

Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors :

Coche la bonne réponse.

A. on ne sait pas
B. f est croissante
C. f est constante
D. f est décroissante

Exercice 4★★☆☆☆

Si X suit une loi uniforme sur [2;8], quelle est E(X) ?

Coche la bonne réponse.

A. 5
B. 8
C. 6
D. 2

Exercice 5★★☆☆☆

Calculer la dérivée de f(x) = \ln(3x).

Coche la bonne réponse.

A. \dfrac{1}{x}
B. \dfrac{1}{3x}
C. \dfrac{3}{x}
D. \dfrac{1}{3}

Exercice 6★★☆☆☆

Si f est une fonction impaire et a > 0, que vaut \int_{-a}^{a} f(x)\,dx ?

Coche la bonne réponse.

A. Positif
B. Négatif
C. Nul
D. Indéterminé

Exercice 7★★★☆☆

X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=1. Donner la valeur EXACTE de P(X > 1).

Coche la bonne réponse.

A. e^{-1}
B. e^{1}
C. 1-e^{-1}
D. e^{-2}

Exercice 8★★★☆☆

Pour y' = 3y + 2, déterminer la solution particulière **constante** y. (Réponse entière ou fraction irréductible.)

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

Donner les variations de f(x) = -2x^2 + 3x - 2.

Coche la bonne réponse.

A. Décroissante puis croissante
B. Toujours décroissante
C. Toujours croissante
D. Croissante puis décroissante

Exercice 10★★★★☆

On étudie f(x) = 4x^3 - 3x et on cherche son point d'inflexion.

a) Quelle condition caractérise un point d'inflexion de f ?
- A. f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE
- B. f' s'annule en changeant de signe
- C. f'' est positive
- D. f s'annule
b) Résous f''(x) = 0 : en quelle abscisse x ?
Réponse :
c) Calcule l'ordonnée du point d'inflexion, c'est-à-dire f en cette abscisse.
Réponse :
d) Que traduit géométriquement ce point d'inflexion ?
- A. La courbe passe de concave à convexe (la tangente traverse la courbe)
- B. La courbe atteint son maximum
- C. La courbe admet une asymptote horizontale

Exercice 11★★★★☆

On étudie f(x) = 3x^2 - 6x + 5 sur l'intervalle [0\,;3]. On a f''(x) = 6 > 0.

a) Comme f est convexe sur [0\,;3], où faut-il chercher son minimum ?
- A. Au point où f' s'annule (s'il est dans l'intervalle)
- B. À l'une des deux bornes de l'intervalle
- C. Au milieu de l'intervalle, en x = 1{,}5
- D. Là où f'' s'annule
b) Résous f'(x) = 0 : en quelle valeur de x le minimum est-il atteint ? (fraction irréductible)
Réponse :
c) Calcule la valeur minimale de f sur l'intervalle. (fraction irréductible)
Réponse :
d) Pourquoi ne teste-t-on pas f(0) et f(3) pour le minimum ici ?
- A. Le point critique est dans l'intervalle : pour une convexe, il donne le minimum global
- B. Parce que f(0) et f(3) sont toujours égaux
- C. Parce qu'une fonction convexe n'a jamais de minimum

🏆 Défi★★★★★

Sans calculer, déterminer la valeur de \int_{-1}^{1} x^{5}\,dx.

Coche la bonne réponse.

A. Nul : la fonction est impaire, l'intervalle est symétrique.
B. Strictement négatif.
C. Égal à \dfrac{21^{6}}{6}.
D. Strictement positif : l'intégrande est une puissance de x.

Corrigé — Pêle-mêle (Terminale Complémentaire) · Feuille n°0

1. f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b) — L'inégalité de convexité : pour \lambda\in[0,1], f(\lambda a+(1-\lambda)b)\leq\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b).
2. 24 — \int_a^b c\,dx = c(b-a) = 6(7-3) = 24.
3. f est croissante — Signe positif de la dérivée sur I implique croissance stricte sur I.
4. 5 — Pour une uniforme [a,b], E(X)=(a+b)/2=(2+8)/2=5.
5. \dfrac{1}{x} — \ln(3x) = \ln 3 + \ln x, donc la dérivée est \dfrac{1}{x}.
6. Nul — Pour toute fonction impaire : \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 par symétrie.
7. e^{-1} — P(X>t)=e^{-\lambda t}=e^{-1\times1}=e^{-1}.
8. -2/3 — Si y constante, y'=0 donc 0 = 3y+2 → y = -2/3.
9. Croissante puis décroissante — f'(x) = -4x + 3. Annulation en x_0 = 3/4. a = -2 < 0 : maximum.
10. a) f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE ; b) 0 ; c) 0 ; d) La courbe passe de concave à convexe (la tangente traverse la courbe) — Un point d'inflexion est là où f'' s'annule EN changeant de signe. Ici f''(x) = 24x s'annule en x = 0 et change de signe, et f(0) = 0 : la courbe présente une inflexion en (0\,;0) (passage concave \to convexe).
11. a) Au point où f' s'annule (s'il est dans l'intervalle) ; b) 1 ; c) 2 ; d) Le point critique est dans l'intervalle : pour une convexe, il donne le minimum global — f''(x) = 6 > 0 : f est convexe. Son minimum est au point critique f'(x) = 6x - 6 = 0, soit x = 1, qui appartient à [0\,;3]. La valeur minimale y vaut f(1) = 2. Pour une convexe, un point critique intérieur est le minimum GLOBAL : inutile de comparer aux bornes.
🏆 Nul : la fonction est impaire, l'intervalle est symétrique. — x \mapsto x^{5} est impaire et l'intervalle [-1;1] est symétrique : \int_{-1}^{1} x^{5}\,dx = 0 (les aires de part et d'autre de 0 s'opposent). Aucun calcul n'est nécessaire.

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