🔀 Exercices à imprimer — Pêle-mêle (Terminale Complémentaire)

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🔀 Pêle-mêle

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelle est la limite de \ln(x) quand x \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

  • A. +∞
  • B. 0
  • C. 1
  • D. -∞

Exercice 2★☆☆☆☆

Suite croissante et majorée par 10. Conclusion ?

Coche la bonne réponse.

  • A. oscille sans converger
  • B. diverge vers −∞
  • C. converge vers une limite finie
  • D. diverge vers +∞

Exercice 3★☆☆☆☆

Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors :

Coche la bonne réponse.

  • A. f est constante
  • B. on ne sait pas
  • C. f est croissante
  • D. f est décroissante

Exercice 4★★☆☆☆

Suite définie par u_0 = 4 et u_{n+1} = 2u_n + 1. Calculer u_2.

Coche la bonne réponse.

  • A. 19
  • B. 10
  • C. 20
  • D. 18

Exercice 5★★☆☆☆

Comment interpréter un coefficient de corrélation linéaire r négatif ?

Coche la bonne réponse.

  • A. r < 0 est impossible
  • B. r < 0 indique une tendance croissante
  • C. r < 0 indique une tendance décroissante
  • D. r < 0 implique absence totale de lien

Exercice 6★★☆☆☆

Donner une primitive de f(x)=x^{2}.

Coche la bonne réponse.

  • A. x^{3} + C
  • B. 2x^{1} + C
  • C. \dfrac{x^{2}}{3} + C
  • D. \dfrac{x^{3}}{3} + C

Exercice 7★★★☆☆

X \sim \mathcal{N}(100, 15^2). P(X \leq 115) \approx 0{,}84. Calculer P(X > 115) (en décimal).

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

La droite de régression de y en x est y = 3x + 8. Quand x augmente de 3 unités, de combien y augmente-t-il en moyenne ?

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

X \sim \mathcal{N}(0,1). Associe chaque probabilité à sa valeur approchée.

Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.

  • P(-1 \leq X \leq 1) •
  • P(-2 \leq X \leq 2) •
  • P(-3 \leq X \leq 3) •
  • P(X > 2) •
  • • 2,3%
  • • 99,7%
  • • 95%
  • • 68%

Exercice 10★★★★☆

f(x) = 2x(x-2) = 2x^2 - 4x est négative sur [0;2] (produit d'un facteur positif et d'un facteur négatif).

  1. a) Quel est le signe de f sur [0;2] ?
    • A. f \leq 0
    • B. f \geq 0
    • C. f change de signe
    • D. On ne peut pas savoir
  2. b) Une primitive est F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2. Calcule \int_0^{2} f(x)\,dx = F(2) - F(0) (fraction irréductible ou entier).

    Réponse :

  3. c) L'aire (en u.a.) est la valeur absolue de cette intégrale. Aire = ?

    Réponse :

Exercice 11★★★★☆

Suite arithmétique u_n = 2 - n. Limite quand n→+∞ ?

Coche la bonne réponse.

  • A. +∞
  • B. u_0 = 2
  • C. −∞
  • D. 0

🏆 Défi★★★★★

Sur 100 pièces, le taux de défaut attendu est p=0{,}2. On observe 28 défauts. On déclenche une alerte si le score standardisé z atteint le seuil z_0=2.

  1. a) Pour juger si le nombre de défauts observé est anormal, quel indicateur calcule-t-on ?
    • A. le score standardisé z = \dfrac{x_{obs} - \mu}{\sigma}
    • B. la différence brute x_{obs} - \mu
    • C. le rapport \dfrac{x_{obs}}{\mu}
    • D. le produit \mu \times \sigma
  2. b) Calcule l'espérance \mu = np.

    Réponse :

  3. c) Calcule l'écart-type \sigma = \sqrt{np(1-p)} (c'est un entier).

    Réponse :

  4. d) Calcule le score standardisé z = \dfrac{x_{obs} - \mu}{\sigma}.

    Réponse :

  5. e) Compte tenu du seuil, quelle décision prend-on ?
    • A. On déclenche l'alerte : l'écart est trop grand pour être dû au hasard
    • B. Pas d'alerte : l'écart reste plausible sous le taux attendu
    • C. On ne peut pas décider sans connaître la taille des pièces
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Corrigé — Pêle-mêle (Terminale Complémentaire) · Feuille n°0

  1. 1. +∞ — \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty car le logarithme est une fonction croissante non bornée.
  2. 2. converge vers une limite finie — Théorème: suite monotone et bornée → convergente.
  3. 3. f est croissante — Signe positif de la dérivée sur I implique croissance stricte sur I.
  4. 4. 19 — u_1=2×4+1=9, u_2=2×9+1=19.
  5. 5. r < 0 indique une tendance décroissante — Un r négatif traduit une liaison linéaire décroissante.
  6. 6. \dfrac{x^{3}}{3} + C — \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, ici F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} + C.
  7. 7. 0.16 — P(X > 115) = 1 - P(X \leq 115) = 1 - 0{,}84 = 0{,}16.
  8. 8. 9 — La pente a=3 donne la variation moyenne de y pour 1 unité de x. Pour 3 unités : 3 \times 3 = 9.
  9. 9. P(-1 \leq X \leq 1) → 68% ; P(-2 \leq X \leq 2) → 95% ; P(-3 \leq X \leq 3) → 99,7% ; P(X > 2) → 2,3% — Règle des \sigma : \pm 1\sigma \to 68\%, \pm 2\sigma \to 95\%, \pm 3\sigma \to 99{,}7\%. Par symétrie, P(X\leq 0)=50\%, P(X>1)\approx 16\% et P(X>2)\approx 2{,}3\%.
  10. 10. a) f \leq 0 ; b) -8/3 ; c) 8/3 — Aire = \left|\int_0^{2} 2x(x-2)\,dx\right| = |-8/3| = 8/3 u.a.
  11. 11. −∞ — Suite arithmétique de raison -1. Si r≠0, diverge vers −∞.
  12. 🏆 a) le score standardisé z = \dfrac{x_{obs} - \mu}{\sigma} ; b) 20 ; c) 4 ; d) 2 ; e) On déclenche l'alerte : l'écart est trop grand pour être dû au hasard — μ=20, σ=4, z=2. Avec la règle z≥2 : décision → alerte.
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