🔀 Exercices à imprimer — Pêle-mêle (Première Spécialité)
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NumiFeuille de révision · Première Spécialité🔀 Pêle-mêle
Exercice 1★☆☆☆☆
Quelle est la valeur exacte de \cos\!\left(\pi\right) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Simplifie \dfrac{e^{4}}{e^{1}}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Quelle est un vecteur normal à la droite d : x + y - 3 = 0 ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Calcule le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = (-2 ; 3) et \vec{v} = (-1 ; 0).
Réponse :
Exercice 5★★☆☆☆
Suite définie par u_0 = 3 et u_{n+1} = -2u_n + 3. Calcule u_3.
Réponse :
Exercice 6★★☆☆☆
Sur [0 ; 5], trouve le maximum de f(x) = -(x - 3)^2 + 8.
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
On place 500 € chaque année à un taux de 4 %. La 1ère année rapporte 500×1.04, la 2e 500×1.04², etc. Quel est le capital total après 6 versements (arrondi à l'euro) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 8★★★☆☆
On sait que \|\vec{u}\| = 4, \|\vec{v}\| = 6 et \vec{u} \cdot \vec{v} = 5. Calcule \|\vec{u} - \vec{v}\|^2.
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
Trouve l'extremum de f(x) = -2(x - 3)^2 - 4.
Coche la bonne réponse.
Exercice 10★★★★☆
Étude de f(x) = -2(x - 1)^2 - 4.
- a) Exprime f'(x). Choisis l'expression correcte.
- b) Pour quelle valeur de x a-t-on f'(x) = 0 ?
Réponse :
- c) Quel est le signe de f'(x) sur l'intervalle x < 1 ?
- d) Quelle est la valeur du maximum de f ?
Réponse :
Exercice 11★★★★☆
A = (0 ; -2), B = (1 ; -4).
- a) Comment obtient-on un vecteur normal \vec{n} à la droite à partir du vecteur directeur \vec{AB} ?
- b) Donne les coordonnées du vecteur directeur \vec{AB} (format 'x ; y').
Réponse :
- c) Donne les coordonnées d'un vecteur normal \vec{n} à la droite (format 'x ; y').
Réponse :
- d) Calcule la constante C = dx\,y_A - dy\,x_A de l'équation cartésienne dy\,x - dx\,y + C = 0.
Réponse :
🏆 Défi★★★★★
On veut caractériser la médiatrice de [AB] à l'aide du produit scalaire. Quelle équation vectorielle définit l'ensemble des points M de la médiatrice ?
Coche la bonne réponse.
Corrigé — Pêle-mêle (Première Spécialité) · Feuille n°0
- 1. -1 — \cos\!\left(\pi\right) = -1.
- 2. e^{3} — e^a / e^b = e^{a-b}, donc e^{4} / e^{1} = e^{3}.
- 3. (1 ; 1) — Pour ax + by + c = 0, un vecteur normal est (a ; b) = (1 ; 1).
- 4. 2 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \times -1 + 3 \times 0 = 2 + 0 = 2.
- 5. -15 — u_1 = -3, u_2 = 9, u_3 = -15.
- 6. x = 3, maximum = 8 — a = -1 < 0 : parabole vers le bas, maximum au sommet S(3 ; 8). Comme 3 \in [0;5], le maximum est f(3) = 8.
- 7. 3316 — Somme géométrique : S = 500 \times \frac{1.04^{6} - 1}{1.04 - 1} \approx 3316 €.
- 8. 42 — \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 16 - 2 \times 5 + 36 = 16 - 10 + 36 = 42.
- 9. x = 3, maximum de -4 — f'(x) = 2 \times -2(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 3. f(3) = -4 est un **maximum** car a = -2 < 0.
- 10. a) -4(x - 1) ; b) 1 ; c) positif ; d) -4 — f'(x)=-4(x-1). f'=0 en x=1. Maximum en x=1, valeur -4.
- 11. a) On échange les deux coordonnées de \vec{AB} et on change un signe. ; b) 1 ; -2 ; c) -2 ; -1 ; d) -2 — AB=(1,-2). Normal=(-2,-1). Éq: -2x-1y+-2=0. B vérifie: 0=0.
- 🏆 \vec{MA} \cdot \vec{MA} = \vec{MB} \cdot \vec{MB}, i.e. |MA| = |MB| — La médiatrice est \{M : |MA| = |MB|\}, ce qui équivaut à |MA|^2 = |MB|^2, soit \vec{MA}^2 = \vec{MB}^2. En développant, on obtient \vec{MI} \cdot \vec{AB} = 0 (où I est le milieu).
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