✅ À retenir

Produit AB : terme (i,j) = \sum_k A_{ik}B_{kj}. En général, AB \neq BA (non commutatif).
Chaîne de Markov : vecteur d'état V_n = V_0 \times M^n. L'état stable \pi vérifie \pi M = \pi.
État stable : résoudre \pi = \pi M avec \sum_i \pi_i = 1.

📖 Définition — Opérations sur les matrices

Addition et multiplication scalaire : terme à terme.

Produit $A \times B$ ( $A$ de taille $m\times p$ , $B$ de taille $p\times n$ ) :

$[AB]_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}$

Pour $2\times 2$ :

$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}e & f \\ g & h\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}$

Inverse de $M = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ (si $\det M = ad-bc \neq 0$ ) :

$M^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$

📖 Définition — Chaînes de Markov

Une chaîne de Markov modélise un système qui peut se trouver dans différents états, avec des probabilités de transition entre états.

Matrice de transition $M$ : $m_{ij}$ = probabilité de passer de l'état $j$ à l'état $i$ (colonnes de somme 1).

Évolution : $V_{n+1} = M \times V_n$ , donc $V_n = M^n \times V_0$ .

État stable $\pi$ : $M \times \pi = \pi$ (vecteur propre de valeur propre 1).

Pour deux états : $\pi_1 + \pi_2 = 1$ et $m_{11}\pi_1 + m_{12}\pi_2 = \pi_1$ .

🔢 Méthode — Trouver l'état stable d'une chaîne de Markov

Poser π=(π₁, π₂, …) avec Σπᵢ = 1.
Écrire l'équation π = M×π (système d'équations linéaires).
Remplacer une équation par Σπᵢ = 1 (car le système est redondant).
Résoudre le système réduit.
Vérifier : Σπᵢ = 1 et M×π = π.

✏️ Exemple — Chaîne de Markov — météo

⚠️

Le produit matriciel n'est pas commutatif : $AB \neq BA$ en général. Toujours vérifier l'ordre des matrices dans une multiplication. De plus, seules les matrices carrées peuvent être inversibles — et pas toutes (det doit être non nul).

Les chaînes de Markov modélisent des processus "sans mémoire" : l'état futur ne dépend que du présent, pas du passé. Elles sont partout : modélisation de la météo, algorithme PageRank de Google, jeux de plateau, biologie (séquences d'ADN), finance.

🎯 Mini-quiz

1. Produit A×B avec A=[[1,2],[3,4]] et B=[[1],[0]] : résultat ?

2. État stable π d'une chaîne de Markov vérifie :

3. Matrice M=[[0,7;0,3],[0,4;0,6]]. Les colonnes somment à :